Enviado por Gustavo Chinney... el 6 de Junio de 2014 - 19:10.
A ver si no di muhcas vueltas, corríganme:
Primero notemos que si $m=0$ entonces tenemos la pareja (0,2).
Vemos que $3\times2^m=(n+1)(n-1)$ entonces, por el TFA tendremos 2 casos:
Caso 1) $n+1=3\times2^i$ y $n-1=2^j$ con $i,j$ enteros positivos tales que $i+j=m$.
En este caso, si restamos las dos ecuaciones y factorizamos tenemos que $2^{i-1}(3-2^{j-i})=1$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{1}{2^{i-1}}+2^{j-i}=3$. Si $j<i$ entonces sólo puede que la suma sea un entero cuando es 1+1 o 1/2+1/2, de cualquier manera, no es igual a 3. Ahora, supongamos que $j>i$, entonces $\frac{1}{2^{i-1}}$ es entero sólo cuando $\frac{1}{2^{i-1}}=1$ y sólo se da cuando $i=1$, entonces $n=5$ y $j=2$, obteniendo la pareja (3,5).
Caso 2) $n-1=3\times2^h$ y $n+1=2^k$ con $h,k$ enteros positivos tales que $h+k=m$.
De igual manera que el caso anterior, restando y factorizando cosas llegaremos a que $-\frac{1}{2^{h-1}}+2^{k-h}=3$. Cuando $k<h$ no puede llegar a ser 3. Ahora veremos cuando $k>h$. Para que el lado izquierdo de la ecuación sea un entero $-\frac{1}{2^{h-1}}$ tiene que ser un entero y se da cuando $h=1$. Entonces $k=3$ ya que $2^2=2^{k-h}=2^{k-1}$. Luego obtenemos la pareja (4,7) y son las únicas parejas.
Muy buena argumentación Gustavo. Y, bueno, es la forma de resolverlo cuando pasas el 1 al lado derecho. La otra forma es observando que $n^2\equiv 1\pmod3$ y continuar en esa línea de argumentación. Una pregunta ¿qué es el TFA?
A ver si no di muhcas
A ver si no di muhcas vueltas, corríganme:
Primero notemos que si $m=0$ entonces tenemos la pareja (0,2).
Vemos que $3\times2^m=(n+1)(n-1)$ entonces, por el TFA tendremos 2 casos:
Caso 1) $n+1=3\times2^i$ y $n-1=2^j$ con $i,j$ enteros positivos tales que $i+j=m$.
En este caso, si restamos las dos ecuaciones y factorizamos tenemos que $2^{i-1}(3-2^{j-i})=1$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{1}{2^{i-1}}+2^{j-i}=3$. Si $j<i$ entonces sólo puede que la suma sea un entero cuando es 1+1 o 1/2+1/2, de cualquier manera, no es igual a 3. Ahora, supongamos que $j>i$, entonces $\frac{1}{2^{i-1}}$ es entero sólo cuando $\frac{1}{2^{i-1}}=1$ y sólo se da cuando $i=1$, entonces $n=5$ y $j=2$, obteniendo la pareja (3,5).
Caso 2) $n-1=3\times2^h$ y $n+1=2^k$ con $h,k$ enteros positivos tales que $h+k=m$.
De igual manera que el caso anterior, restando y factorizando cosas llegaremos a que $-\frac{1}{2^{h-1}}+2^{k-h}=3$. Cuando $k<h$ no puede llegar a ser 3. Ahora veremos cuando $k>h$. Para que el lado izquierdo de la ecuación sea un entero $-\frac{1}{2^{h-1}}$ tiene que ser un entero y se da cuando $h=1$. Entonces $k=3$ ya que $2^2=2^{k-h}=2^{k-1}$. Luego obtenemos la pareja (4,7) y son las únicas parejas.
Muy buena argumentación
Es Teorema Fundamental de la
Es Teorema Fundamental de la Aritmética.