Suma de consecutivos

 bueno pues este lo resolvi a teniendo los 18 numeros 

x,x+1,x+2,+...+x+17=$k^2$=18x+153 y como las congruencias de los cuadrados mod 4 $1,0$ para impares y pares respectivamente y la suma es impar y es cuadrado por lo que 

18x+153=1(mod 4)

18x+152=0(mod 4), pero como 152 es multiplo de 4

18x=0(mod4)

16x+2x=0(mod 4), 2x=0(mod 4)

de aqui que el valor mas pequeño para que sea una posibilidad seria que x=2, haciendo la suma 1+2+3+...+19-1=(19(20)/2)-1=189 que no es cuadradop entonces probamos con x=4 para que tambien cumpla con la congruencia 

4+5+6+...+21+1+2+3-1-2-3=(21(22)/2)-6=225)=15^2

y ya creo q: no se si este bien y si no poes me dise prrofe 

saludos

 Otro modo de resolverlo sería:

$n+(n+1)+...+(n+17) = 18+153=9(2n+17)$. Como 9 es un cuadrado, entonces $2n+17$ también debe serlo. Con un poco de exploración llegamos a que el menor cuadrado es 25. Entonces: $2n+17=5^2$, entonces $n=4$.

La suma es $21*22/2 -(3+2+1) = 15^2$

Me gusta la reducción que haces crimeeee. $2n+17$ debe ser un cuadrado y eso reduce significativamente las cuentas para checar los casos $n=$ 1,2,3 y 4.

También me gusta lo que hizo Arbiter-117, usando módulo 4 reduce los casos a sólo $n=2,4$. 

De estas dos ideas creo que se puede sacar una prueba aun más corta, usando el módulo 8. Los residuos cuadráticos módulo 8 son 0, 1 y 4. Pero como el módulo es un número par, la paridad debe conservarse en las congruencias. Es decir, como $2n+17$ es impar,  su residuo también debe ser impar y por lo tanto tenemos:

$$2n+17 \equiv 1 \pmod{8}$$

De donde se concluye que $2n \equiv 0 \pmod 8$, dividiendo entre 2 obtenermos $n \equiv 0 \pmod{4}$.

Entonces, el primer valor posible (entero positivo) para $n$ es 4 y resulta ser el mínimo.

Nota. Cabe hacer notar que este tipo de reducción de casos no siempre es tan fácil de lograr, generalmente es preferible primero ponerse analizar casos pequeños  y si no aparece en ellos, entonces sí invertir tiempo en encontrar una reducción de los casos.

 Muy bueno! y de paso sirve para demostrar sólidamente que el menor valor para $n$ es 4