Sumas aritméticas

Las sumas aritméticas son importantes debido a su constante aparición en diferentes áreas de la ciencia. Un ejercicio elemental que servirá de motivación es el siguiente.

Se desea construir un pirámide con ladrillos como se muestra en la figura de abajo (con tres ladrillos en la punta y con varios escalones, un escalón superior tiene un ladrillo menos que el inmediato anterior). Pero con la diferencia de que en la base se quieren tener 100 ladrillos, ¿Cuántos ladrillos se necesitan?

Es recomendable que el lector intente resolver este ejercicio antes de continuar, para que se familiarice con la dificultad de estos problemas. No es necesario que lo resuelva, un intento exploratorio es suficiente.

Para poder hablar de sumar aritméticas, necesitamos definir las sucesiones aritméticas. Pues, las sumas aritméticas no son más que la suma de los elementos de una sucesión aritmética.

Una sucesión aritmética se construye a partir de un número inicial $a_0$ y un número $k$ que llamaremos incremento. El incremento se suma al inicial, para obtener el siguiente elemento de la sucesión ($a_0 +k$), después se continúa sumando el incremento a cada elemento de la sucesión para obtener el siguiente. Esto es, la sucesión se ve así:

$$ a_0, a_0+k, a_0+2k, a_0+3k, \ldots $$

O bien, el $i$-esimo elemento tiene la forma $a_i=a_0+ik$.

Por ejemplo, $a_0=2$ y $k=3$, se tendría la siguiente sucesión:

 

$$ 2, 5, 8, 11, \ldots $$

Que en la notación general de sucesiones se acostumbra denotar como $a_i =2+3i$, para $i$ desde 0 a $\infty$.

Este tipo de comportamiento se ve a menudo. Por ejemplo, en las tarifas de los taxis, cobran una cantidad inicial en el banderazo ($a_0$) y después agregan una cantidad por cada 250 metros o 45 segundos ( $k$).

Al ejercicio de la pirámide también se le puede asociar una sucesión aritmética. Empezamos con el número de ladrillos en la punta $a_0 =3$, el primer elemento de la sucesión, y después , el siguiente escalón hacia abajo de la pirámide es $a_1=4$ y así sucesivamente (valga la redundancia). Entonces, se construye la sucesión:

$$ 3, 4, 5, 6, \ldots $$

Evidentemente, en este caso $k=1$. Con esto es también evidente que para resolver el problema de la pirámide es necesario calcular la suma:

 

$$ 3+4+5 + 6 + \cdots + 100$$. Lo cual parece una tarea bastante laboriosa.

Empezaremos entonces por resolver este caso particular de sumas aritméticas, el más importante, de él se desprenden todos los demás. Primero, este caso corresponde a cuando $a_0=1$ y $k=1$, es decir, es la sucesión:$$ 1, 2, 3, 4, \ldots $$

Por otro lado, a la suma de los primeros $n$ términos de una sucesión aritmética se le conoce como suma aritmética parcial. En este ejemplo, la suma $1+2+ cdots +n$ es una suma aritmética parcial.

Calculemos esta suma como sigue. Escribamos dos veces la suma, la primera vez de menor a mayor y la segunda de mayor a menor y sumémoslas término a termino.

$$X=1 + 2 +  3 +\cdots+n$$

$$X=n+n-1+n-2+\cdots+1$$

 

De esta suma obtenemos que $2X=n(n+1)$, es decir $X={n(n+1)}/2$. Hemos pues, en resumidas cuentas, encontrado la siguiente útil fórmula. $$ 1 + 2+ \cdots +n =\frac{n(n+1)}{2} $$

Ahora ya entraremos a lo que nos interesa, que es el calcular la suma de los primeros $n$ elementos de sucesión aritmética. Es decir, queremos calcular la suma $\sum_{i=1}^{n}{a_i}=\sum_{i=1}^{n}{(a_0+ik)}$ que es igual a la siguiente suma $=\sum_{i=1}^{n}{a_0}+k \sum_{i=1}^{n}{i}$ y como en la primera suma se está sumando $n$ veces una constante, se tiene que $\sum_{i=1}^{n}{a_0}=n a_0$ y por otro lado, sabemos que $\sum_{i=1}^{n}{i}={n(n+1)}/2$, en consecuencia hemos probado que: $$\sum_{i=1}^{n}{(a+ k i)}=n{a}+k{n(n+1)}/2$$