En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?
Dividimos en casos los
Dividimos en casos los saludos
Esquinas 3 saludos por persona, en total 4 esquinas=12 saludos
Orillas 5 saludos por persona, en total 2(x−2)+2(y−2)=10(x+y−4) saludos
Interior 8 saludos por persona, en total 8(x−2)(y−2)=8(xy−2x−2y+4) saludos
Sumamos y dividimos entre 2 ya que los saludos se cuentan dos veces:
12+10x+10y−40+8xy−16x−16y+322=4xy−3x−3y+2=1020
4x−3x−3y=1018 buscamos factorizar
(4x−3)(4y−3)−9=4072
(4x−3)(4y−3)=4081
Factorizamos 4081=7∗11∗53
Tenemos 3 casos posibles
77∗53-->donde x=20 y y=14
7∗583---Que no cumple porque 7+3 no es divisible por 4
11∗371--Que no cumple porque 11+3 no es divisible por 4
∴ hay 280 concursantes
Dividimos en casos los
Dividimos en casos los saludos
Esquinas 3 saludos por persona, en total 4 esquinas=12 saludos
Orillas 5 saludos por persona, en total 2(x−2)+2(y−2)=10(x+y−4) saludos
Interior 8 saludos por persona, en total 8(x-2)(y-2)=8(xy-2x-2y+4) saludos
Sumamos y dividimos entre 2 ya que los saludos se cuentan dos veces:
12+10x+10y−40+8xy−16x−16y+322=4xy−3x−3y+2=1020
4x−3x−3y=1018 buscamos factorizar
(4x−3)(4y−3)−9=4072
(4x−3)(4y−3)=4081
Factorizamos 4081=7∗11∗53
Tenemos 3 casos posibles
77∗53-->donde x=20 y y=14
7∗583---Que no cumple porque 7+3 no es divisible por 4
11∗371--Que no cumple porque 11+3 no es divisible por 4
∴ hay 280 concursantes
¡Perfectamente bien
¡Perfectamente bien contestado! Solución más rápida y clara no puede ser.
P.D. No me sabía como escribir "por lo tanto" (∴) con latex