Problema 1 - IMO 2015 - Conjunto de puntos y mediatrices.

Enviado por jesus el 14 de Julio de 2015 - 17:26.

Decimos que un conjunto finito $\cal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\cal{S}$ hay un punto $C$ en $\cal{S}$ tal que $AC = BC$ . Decimos que $\cal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A$ , $B$ , $C$ en $\cal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\cal{S}$ tal que $PA=PB=PC$ .

Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.

Sugerencia

Por:

jesus

Sugerencia:

Para el inciso a). Considera los puntos sobre una circunferencia de radio 1 y su centro. Haste la pregunta, ¿cómo pueden estar los puntos sobre la circunferencia para que sean equilibrados?

Luego, considera dos conjuntos como el anterior, ¿qué pasa si los unes dejando el mismo centro y el resto de los puntos sobre la misma circunferencia?

Para el inciso b). Observa que para $n$ impar siempre se puede. Piensa en algo muuy regular.

Demuestra que $n$ par no se puede. Inicia observando los casos pequeños $n=4, 6, 8$ .

Para el caso general, estudia la relación entre la cantidad de bisectrices de $\cal{S}$ (pensadas como parejas de puntos) y la cantidad de bisectrices que llegan a cada punto de $S$ . Considera el punto con más bisectrices.

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