IMO 2015

Decimos que un conjunto finito $\cal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\cal{S}$ hay un punto $C$ en $\cal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\cal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A$, $B$, $C$ en $\cal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\cal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.

1. Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
2. Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.