Triángulos semejantes

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Sea XYZ un triángulo rectángulo con <Z=90°. Prolonguemos el lado XZ y marcamos un punto A tal que XZ=ZA y Z queda entre X y A. Prolongar el lado YZ y marcamos un punto B tal que YZ=ZB y Z queda entre Y y B. Trazamos la altura ZW (W en XY) del triángulo XYZ y prolongamos hasta un punto C tal que ZW=WC, y W queda entre Z y C. Si el área de XYZ es 30. Encuentra el valor del area del triángulo ABC




Imagen de ddnava

Un problema muy sencillo. Si

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Un problema muy sencillo. Si sabemos que XZ = ZA, YZ = ZB y XY = AB. Tomemos un punto D en AB de modo que DZ sea la altura del triángulo ABZ. Entonces tenemos que DZ = ZW = WC, y como D, Z, W, y C son colineales tenemos que DC es la altura de ABC. Al tener ABC la misma base de XYZ pero con una altura del triple de valor sabemos que el trángulo ABC tiene el triple de área de XYZ :. ∆ABC = 3(∆XYZ) = 90 Saludos (:
Imagen de jmd

Muy bien ddnava. Sólo una

Muy bien ddnava. Sólo una observación --y una advertencia:

Cuando dices "Si sabemos que XZ = ZA, YZ = ZB y XY = AB." eso no es cierto, si es que con "sabemos" quieres decir que "por datos" --como sería la interpretación preferida de un jurado.  La última afirmación (XY=AB) es en realidad una inferencia que hiciste a partir de los datos. Así que sugiero que adquieras la costumbre de decirlo así cuando ese sea el caso. (Incluso podrías decir --en un estilo un tanto pedante: Si sabemos que XZ = ZA, YZ = ZB, es evidente que XY = AB.)  Un poco mejor sería decir: Si sabemos que XZ = ZA, YZ = ZB,  entonces XY = AB (por congruencia de triángulos). Pues en realidad, los datos XZ = ZA, YZ = ZB conducen a concluir que los triángulos XYZ y ABZ son congruentes (por el criterio LAL).

Te saluda

Imagen de Paola Ramírez

Por la informacion que nos

Por la informacion que nos brinda el problema tenemos que $AB||XY$  entonces $CZ=ZW$ sabemos que $W$ es pie de altura $\therefore$ si prolongamos $CZ$ hasta que corte a $AB$ en el punto $C'$. Vemos que $C'Z=ZW=WC=x$ supongamos que $AB=y$con esto obtenemos que el area de $AZB=XZY=\frac{xy}{2}=30$ podemos obtener el area de $ABC$

$C'C=3x\therefore (ABC)=\frac{3xy}{2}=3(30)=90$