En el triángulo $ABC$, rectángulo en $C$, la bisectriz de $A$ corta a $BC$ en $P$ y la bisectriz de $B$ corta a $CA$ en $Q$. Sean $M$ y $N$ las proyecciones de $P$ y $Q$, respectivamente, sobre el lado $AB$ . Calcular la medida del ángulo $MCN$.
Haz una buena figura y obsérvala con detenimiento.
La información derivada de los datos está a la vista en la figura (aunque podría ser difícil de ver): $CP=PM$ y $CQ=QN$ (por la definición de bisectriz como lugar geométrico).
Por tanto, los isósceles $CNQ$ y $CMP$ tienen ángulos en la base iguales, digamos $x$ y $y$.
Si ahora trazamos la altura de $C$ (la componente creativa de la solución), se puede ver que que esa altura es la imagen de $BC$ en el espejo de $CM$ y que el ángulo buscado es $x+y$ --pues la altura de $C$, $PM$ y $QN$ son paralelas.
Pero $2x+2y=90$. Se concluye que el ángulo buscado es de 45 grados.
