Puntos en la hipotenusa de un isósceles rectángulo

 Girando 90 grados sobre el centro $A$, todos los segmentos con un extremo en $A$ giran 90 grados: $M$ se va a $M'$, $N$ a $N'$, $B$ a $C$ y $C$ a $C'$. En particular, $AM$ gira 90 hasta $AM'$ de manera que el ángulo  $\angle{MAM'}=90$ (Ver figura.) 

Por otro lado, el triángulo $M'NC$ es rectángulo en $C$ (pues $ACC'$ es una copia del $ABC$). Pero $BM=CM'$. Por tanto, $$MN^2=BM^2+NC^2=M'C^2+CN^2=M'N^2$$ .

Pero $AM=AM', MN=M'N$ y $AN$ es idéntico a sí mismo. De aquí que los triángulos $AMN$ y $AM´N$ son congruentes (por $LLL$). Se concluye que los ángulos $\angle{MAN}$ y $\angle{NAM}$ son iguales. Pero ambos forman uno recto. De ahí el resultado.