Números racionales!!!

Enviado por cuauhtemoc el 10 de Enero de 2012 - 15:53.
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Demuestra que la suma de las raíces cuadradas de 2 y 3 suman un número irracional. Esto es, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es irracional.

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Supongamos que no es

Enviado por cuauhtemoc el 10 de Enero de 2012 - 16:17.

Supongamos que no es irracional, es decir que es racional. Si

√2 + √3 es racional, entonces también lo es (√2 + √3)^2 = (√2)^2 + 2√2√3 + (√3)^2 = 2 + 2√2√3 + 3 = 5 + 2√2√3. Entonce este número es racional; pero como 5 es racional, entonces 2√2√3 también lo debe ser, sin embargo √2
    es irracional y por lo tanto 2√2√3 es irracional, lo cuál es una contradicción.  Con esto concluimos que √2 + √3 es irracional.
 
Demostracion de que √2 es irracional. Supongamos que es racional y se puede escribir de la forma √2=p/q, donde p/q es irreductible.
 √2=p/q             2= p^2 / q ^2                 p^2= 2q^2
Por consecuencia p^2 es par  y puede escribirse de la forma 2a, sustituyendo tenemos: (2a)^2=2q^2                 4a^2=2q^2         2a^2=q^2
Por lo tanto q  es par  y puede escribirse de la forma 2b. Sustituyendo:

√2=p/q= 2a/2b= a/b, lo cual es una contradicción.

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Hola Cuauhtemoc, pues muchas

Enviado por jesus el 10 de Enero de 2012 - 17:20.

Hola Cuauhtemoc, pues muchas gracias por todas tus contribuciones al sitio. Yo veo muy bien casi toda la lógica de la argumentación, sólo esta parte:

Entonce este número es racional; pero como 5 es racional, entonces 2√2√3 también lo debe ser, sin embargo √2

    es irracional y por lo tanto 2√2√3 es irracional, lo cuál es una contradicción. 

Tu argumento, si estoy en lo correcto, se puede resumir así:

Si $a$ es irracional, entonces  $2ab$  es irracional.

Lo cuál es falso, pues con $a=\sqrt{2}$ y $b=1/\sqrt{2}$  se tiene un contraejemplo.

Por lo demás, todo veo bien.

Saludos

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Encuentran algún error?? Les

Enviado por cuauhtemoc el 10 de Enero de 2012 - 16:19.

Encuentran algún error??

Les agradecería si me corrigen, gracias.

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