Numeros enteros positivos

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Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean m y n, el numero  mn(m+n)(mn) es divisible por 3.




Imagen de coquitao

Si alguna entrada de (m,n) es

Si alguna entrada de (m,n) es divisible por 3, hay nada que hacer. En otro caso o ambas entradas son congruentes con 1 mód 3 o ambas son congruentes con 2 mód 3 o exactamente una es congruente con 1 mód 3 (y la otra es congruente con 2 mód 3). Si ambas son congruentes con 1 (resp. 2) mód 3 entonces 3 | (m-n). En el tercer caso, 3 | (m+n). QED.

 

Imagen de Paola Ramírez

Nos fijamos en la combinacion

Nos fijamos en la combinacion que podemos hacer con modulos.Tenemos 9 casos: 0,00,10,21,11,22,2. Como se están multiplicando, con que alguno sea múltiplo de tres es suficiente.Los primeros casos son triviales.En los casos 1,1 y 2,2 tenemos que 22(mod3) y 11(mod3) son 0(mod3). Nos queda el caso 1,2 pero vemos que si 1+2(mod3) es 0(mod3) .Por lo tanto,para cualesquiera números m,n, mn(m+n)(mn) es multiplo de tres

Imagen de jmd

Gracias por tu comentario

Gracias por tu comentario Paola. Lo edité en lo que respecta a latex pero revísalo por si alteré algo...

Te saluda