La ecuación es múltiplo de 3804 sólo si lo es de 3,4 y 317, ya que éstos son los factores de 3804.
Demostración de que es múltiplo de 3
Como n3−n=(n−1)(n)(n+1) es un producto de tres número consecutivos, entonces es multiplo de 3.
Demostración de que es múltiplo de 4
Notemos que n3−n es par. Luego, tanto 5 como 3 a cualquier potencia simpre son impares, entonces, (58n+4+34n+2) es impar pues impar+impar=par.
Luego, como par×par=2a×2b=4ab es multiplo de 4. Entonces, (n3−n)(58n+4+34n+2) es múltiplo de cuatro.
Demostración de que es múltiplo de 317.
Al ver el problema con congruencias queda 58n+4+34n+2≡0(mod317), o bien, 58n+4≡−34n+2(mod317).
Pero se tiene que: 54=625≡−9=−(32)(mod317). Por lo que (54)2n+1≡−(32)2n+1(mod317). Por lo que 58n+4≡−34n+2(mod317), y 58n+4+34n+2≡0(mod317). Entonces (n3−n)(58n+4+34n+2)≡0(mod3804)
La ecuación es multiplo de
La ecuación es multiplo de 3804 solo si lo es de 3,4 y 317, ya que esta estos son los factores de 3804.n3-n=(n-1)(n)(n+1), por lo que la ecuación es multiplo de 3. n3-n es par y al ver (58n+4+34n+2) 5 a una potencia par es impar. Y 3 a lo que sea es impar por lo que (58n+4+34n+2) es igual a impar+impar=par, entonces se tiene parxpar=2ax2b=4ab, por lo que la ecuación es multiplo de 4, solo falta el caso de 317. Al ver el problema con congruencias queda [58n+4+34n+2cong. a 0 mod 317], o [58n+4 cong a -34n+2 mod 317]. Pero se tiene que [54 cong a -9 cong a –(32) mod 317]. Por lo que [(54)2n+1cong a –(32)2n+1 mod 317]. Por lo que [58n+4 cong a -34n+2 mod 317], y [58n+4+34n+2cong. a 0 mod 317]. Entonces (n3-n) (58n+4+34n+2) cong a 0 mod 3804.
Está muy bien tu solución,
Está muy bien tu solución, con muy buen manejo de las congruencias. La voy a poner como la solución oficial.
Por otro lado, te recomiendo leer el acordeón de latex para ver cómo incrustar fórmulas matemáticas en los comentarios.
Saludos