Elemental pero difícil

Los números $n$ se expresan como $1000a+100b+10a+b=10a(100+1)+b(100+1)=101(10a+b)$, donde $a, b$ son dígitos distintos de cero (de otra manera el producto de sus cifras es cero). Pero el producto de sus cifras es $(ab)^2$ y es un factor de $n^2$. Es decir, $ab$ divide a $n=101(10a+b)$. Por tanto, $a$ divide a $10a+b$ (puesto que no podría dividir a un primo) y $b$ divide a $10a+b$ (por ser 101 primo).

De "a divide a 10a+b" se concluye que a divide a b. Y de  "b divide a 10a+b" se concluye que b divide a 10a. (a divide a b porque a divide a 10a+b y b divide a 10a porque b divide a 10a+b). De aquí que $10a$ es múltiplo de $b$ y $b$ es múltiplo de $a$ (en símbolos: a|b|10a).

Simbólicamente, esto se expresa como $b=ra, 10a+b=sb.$  Sustituyendo la primera en la segunda se obtiene: $10a+rb=sra$, o $10=r(s-1)$. Y surgen los siguientes casos: $r=1,s=9; r=2,s=6; r=5,s=1$. (Se descarta $r=10, s=0$ por razones obvias.) En resumen, se tienen tres casos:  $a=b, 2a=b, 5a=b.$

Caso 1: Si $a=b$ entonces $n=101(11a)$ y el producto de sus cifras es $a^4$, el cual es un factor de $n^2=101^2(11)^2(a^2)$. De aquí que $a|11$, y la única posibilidad des que a=1. (Con la solución 1111.)
Caso 2: Si b=2a entonces n=101(12a) y el producto de sus cifras es $4a^4$, el cual es un factor de $n^2=101^2(12)^2a^2.$  De aquí que $a^2$ divide a $36$, es decir, $a$ divide a 6. Entonces $a$ es 1,2,3, o 6, y los valores correspondientes de $b$ son 2,4,6 (el 12 no es dígito). Las soluciones correspondientes son: 1212,2424,3636.
Caso3: Si b=5a entonces n=101(15a) y el producto de sus cifras es $25a^4$. Se sigue que $a$ divide a 3. Así, $a=1$ o $a=3$ (y $b=5,b=15$). La única solución en este caso es 1515.

En resumen, los números buscados son 111, 1212,2424,3636,1515.