Múltiplo de 11 compuesto de unos

Puesto que $11p=111...11$, entonces $ m $ tiene que ser par (para poder factorizar el 11 en 111...11).  De aquí que $ p $ es de la forma $10101...01$ con $m-1$ dígitos. Para $m=4$ se tiene $11(101)$ y $101$ es primo. Y se puede conjeturar que no hay más posibilidades.

Para demostrar esto observemos que 111...11 con m unos se puede poner como $999...99/9=(10^m-1})/9$. Y como m es par, digamos $m=2k$, entonces se tiene la ecuación $99p=(10^k-1)(10^k+1).$

Y si $ p $ es primo entonces $ p$ divide a alguno de los factores en la expresión $(10^k-1)(10^k+1).$ De aquí que $p$ sea menor o igual que $10^k+1.$

Por otro lado, observando la ecuación $99p=(10^k-1)(10^k+1)$, se concluye que $10^k-1$ divide a $99p$. Y como no divide a $ p $ entonces divide a 99. De aquí que $10^k-1$ es menor o igual que 99. Es decir, $10^k-1$ es menor o igual que $10^2-1$. Por tanto $ k $ es menor o igual que 2. Pero si $k=1$ entonces $m=2$ y $p=1$ (que no es primo). Por tanto, la única posibilidad es $k=2, m=4$ y $p=101$ como se había conjeturado.