Números chidos

Como buscamos encontrar el número chido más grande entonces podemos empezar por analizar el caso donde a=9:

Si a es 9 entonces para que se cumpla la primera condición, $\frac{bc}{a}$ se necesita entonces que $9|bc$ el 999  y el 990 quedan descartados pues tienen cifras repetidas entonces $b+c=9$ por el criterio de divisibilidad del 9 por lo tanto alguno de los dos es par si b es par entonces no es posible que $\frac{ac}{b}$ sea entero, pues ac tiene ambos dígitos impares y por lo tanto es impar por lo que no lo puede dividir un número par, por el otro lado, si c es par entonces lo que no puede pasar es que  $\frac{ba}{c}$ sea entero, por el mismo razonamiento que en el caso anterior. Entonces vemos que no es posible que a=9.

Procedamos ahora a ver el caso en que a=8:

Si a es 8 entonces nuevamente se necesita que $8|bc$, por lo tanto c necesariamente es par, puede tomar valores 2, 4 ó 6.

Si c=2 entonces b debe ser 7 ó 3 para que  $8|bc$ sea cierto, luego si b=7 vemos que no es cierto que  $\frac{82}{7}$ sea entero por lo tanto si c=2 entonces b=7 nos da un número que no es chido. Si b=3 vemos que de nuevo no es cierto que  $\frac{82}{3}$ sea entero por lo tanto c=2 tampoco nos da un número chido.

Si c=4 entonces b debe ser 6 ó 2 para que $8|bc$ sea cierto, luego si b=6 vemos que se cumplen todas los requisitos pues  $\frac{64}{8} = 8$,  $\frac{84}{6 }= 14$ y  $\frac{68}{4} = 17$ entonces 864 es un número chido. Si  b=2 vemos que también se cumplen los requisitos pues  $\frac{24}{8} = 3$,  $\frac{84}{2}=42$ y  $\frac{28}{4} =7$ por lo tanto 824 es otro número chido.

Si c=6 entonces b debe ser 9 o 3 para que  $8|bc$  sea cierto, luego si b=9 entonces no es cierto que  $\frac{86}{9}$ sea entero por lo que con b=9 no obtenemos un número chido. Si b=3 entonces de nuevo no es cierto que $\frac{86}{3}$ sea entero por lo tanto con b=3 tampoco se obtiene un número chido.

Con el análisis anterior podemos ver que el número chido más grande es 864, y que además de él, sólo existe un otro número chido con a=8, a saber 824. Con lo que tenemos las respuestas a ambas preguntas y como dice mi amigo Germán, "acabamos".

exacto yo sin embargo cometi un descuido pues inclui en mi respuesta 848 pero lo demas lo tenia correcto

El 842 y el 824.

Si a dividiera a b o a c de forma exclusiva, se obtendrían dos contradicciones. Luego a divide a b y tambén divide a c. b además debe dividir a c.(la terna 3,6,12 excede el módulo 10)

Lo mismo se podría decir de b o de c.

8,4 y 2. No se puede encontrar otra terna que quepa en módulo 10.