P1 OMM 2004 - Problema 1

(Solución de Orlando Ochoa Castillo.)

Una de las cosas que se acostumbra hacer normalmente en este tipo de problemas es acotar, al inicio, algunas de las variables. Una primera, y algo primitiva, cota sería decir: $r$ es un primo menor que $2004$, ya que $25pq$ tiene que ser mayor que $25$. Sin embargo, esto no nos dice mucho, y observamos que podemos acotar mejor.

Como $p$ < $q$, si $p = 11$, tendríamos que $q$, es al menos el siguiente primo, es decir, $13$ y $r$ el siguiente, es decir, el $17$, obteniendo la ecuación: $25\cdot 11\cdot 13 +17 = 3592$ > $2004$ , por lo cual, $p$ < $11$.

Si $p = 7$, el caso cuya primera ecuación $25pq+ r =2004$ sea la menor es, si $q = 11$ y $r = 13$, así $25\cdot 7\cdot 11+ 13= 1938$ <$2004$ , así que nuestro máximo para $p$ será $7$.

Notemos que $r$ no puede ser $2$, ya que un existen dos primos, $p, q$, menores que $r = 2$. Por lo tanto, $r + 25pq$, como debe ser igual a $2004$, debe ser par y como $r$ es impar, por fuerza $25pq$ debe ser impar, lo que evita que tanto $p$ como $q$ sean el primo $2$. $2004$ es múltiplo de $3$, por lo que, si $p = 3$, que es otro de los casos que tenemos por checar, $25pq$ también sería un múltiplo de $3$, y como la suma de múltiplos de un número es un múltiplo del mismo número, entonces $r= 2004 -25pq$ sería un múltiplo de $3$ y por lo tanto no sería un primo, quedando así también ésta opción descartada.

Solo nos queda checar que pasa con $p = 5$ y $p = 7$. Sea $p = 5$, entonces, de igual forma que como acotamos $p$, nos damos cuenta que $q$ es tal que $5$<$q$<$17$ . Sea $q = 7$, despejando $r= 2004 -25pq$ tenemos que $r= 1129$, que es primo, falta ver si se cumple que $pqr+ 1$ es un cuadrado.

$pqr+ 1= 5 \cdot7\cdot 1129 +1= (-4)(- 2)(- 5)+ 1= 6$  $mod(9)$, como además es $pqr+ 1= 5\cdot 7 \cdot1129 +1 =(-1) (1) (1) +1= 0$ $mod(3)$, vemos  que el número es múltiplo de $3$, pero no de $9$, por lo cual no es cuadrado.
Si $q = 11$, $r= 2004 -25pq \Rightarrow r = 629 17 \cdot 37$ , que no es primo, lo cual descarta esta opción, así, la única opción que nos queda para $p = 5$ es $q = 13$. Sea $q = 13$, $r= 2004 -25pq \Rightarrow r = 379$ que es un número primo, sin embargo, analizando la segunda ecuación $pqr+ 1 =5 \cdot 13\cdot 379 +1 =(-1) (1) (1) + 1 = 0$ $(mod 3)$ y por otra parte $pqr  + 1= 5 \cdot 13 \cdot 379 + 1 =  (-4) (4) (1) + 1 = 15 = 3$ $(mod 9)$, como es múltiplo de $3$, pero no de $9$, entonces no es un cuadrado perfecto.

Por último, nos queda $p = 7$. Si $q = 13$, $r$ tendría que ser al menos $17$, así $25\cdot 7\cdot 13 + 17= 2292$ > $2004$ , entonces, $7$ < $q$ < $13$. La única opción, como $q$ es primo, es $q = 11$. Siendo así $r= 2004 -25pq \Rightarrow r= 79$ , que es primo, por último, falta checar que la segunda ecuación es un cuadrado perfecto. $pqr + 1 =7 \cdot 11\cdot 79 + 1= 6084 =782^2$.

Como agotamos las opciones para $p$, ya no tenemos más posibles soluciones. Por lo tanto, la única solución al sistema de ecuaciones es: $p= 7,q= 11, r= 79$.