Problema 5, ONMAS 2007

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Sean a,b dos enteros tales que 2007a=7002b. Demostrar que a+b no es primo.




Imagen de jmd

Este problema pareciera

Este problema pareciera avanzado, y de cierta forma lo es pues se planteó para el nivel 2 de la ONMAS 2007, pero es elemental si el concursante conoce el criterio de divisibilidad dado por el lema de Gauss: si a divide a bc y a es primo con b, entonces a divide a c. El adolescente interesado en concursos debería tomar este lema  como axioma (como dado o teorema conocido) y aplicarlo sin remordimiento (de que no sabe demostrarlo).

Imagen de Fernando Mtz. G.

Transformando ahora la

Transformando ahora la igualdad se obtiene. 223(a+b)=1001b=(11)(91) y 223 no es multiplo de 11 asi que a+b es multiplo de 11, y es facil ver que a+b no puede ser 11, por tanto a+b no es primo
Imagen de Paola Ramírez

Vemos que: 2007=2239 y

Vemos que:
2007=2239 y que 7002=7789, la igualdad se simplifica a 223a=778b

Tenemos que igualar factores de ambos lados de la igualdad
223(778k)=778(223k), donde a=778k,b=223k entonces
a+b=(778k)+(223k)=k(778+223)=k(1001) pero 1001=71113a+b no es primo