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Factor primo de un número con dígitos 1,3,7,9
Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.
Nubes de circunferencias coloreadas
Sean $n$ puntos distintos, $P_1, P_2,\ldots, P_n$, sobre una recta del plano ($n \geq 2$). Considere todas las circunferencias de diámetro $P_iP_j$ ($1\leq i \leq j\leq n$) y coloreadas cada una con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n-k)$-nube a esta configuración.
Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n-k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Circunferencias bisecantes
Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.
- a) Pruebe que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca a $C_1$ y $B$ biseca a $C_2$.
- b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.
El cubo de la suma de los dígitos
Halle todos los enteros positivos menores que 1000 y tales que el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Resto del término 1998 en la división entre 1998
Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2 - 1998t - 1 = 0$. Se define la sucesión $x_0 , x_1 ,x_2 ,\ldots, x_n ,\ldots$ por:
$$x_0 = 1, x_{n + 1} = [\lambda x_n],$$ para $n = 0, 1, 2,\ldots$
Hallar el residuo (resto) de la división de $x_{ 1998}$ entre 1998.
NOTA: $[x]$ es el único entero $k$ tal que $k\leq x \leq k + 1$.
Distancias entre pares de puntos en el plano
Hallar el máximo valor posible de $n$ para que existan puntos distintos $P_1, P_2, P_3,\ldots,P_n$ en el plano y números reales $r_1, r_2,\ldots, r_n$ de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes $P_i$ y $P_j$ sea $r_i + r_j$.
Paisanos en una mesa redonda
Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de $n$ países ($n\geq 2$), de tal manera que si dos representantes son del mismo país, entonces sus vecinos de la derecha no son del mismo país. Determinar, para cada $n$, el número máximo de personas que pueden sentarse alrededor de la mesa.
Cardinalidad mínima de subconjuntos con una cierta propiedad
Hallar el mínimo número natural $n$ con la siguiente propiedad: entre cualesquiera $n$ números distintos, en el conjunto $\{1, 2, \ldots, 999\}$ es posible elegir cuatro diferentes $a, b, c, d$, tales que $a + 2b + 3c = d$.
Caracterización del isósceles vía su incírculo
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta a la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si, y solamente si, $AC = BC$.
98 puntos en una circunferencia
En una circunferencia hay dados 98 puntos. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno traza un segmento que une dos puntos que no han sido unidos antes. El juego finaliza cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de al menos un segmento. El ganador es quien traza el último segmento. Si José inicia el juego ¿quién puede asegurarse la victoria?
