Publicaciones Recientes

Problema

Criterio para establecer cíclico con potencia de un punto

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 17:28.

 Si las rectas $AB,CD$ se cortan en $P$ y $PA\cdot{PB}=PC\cdot{PD}$, entonces los puntos $A,B,C,D$ pertenecen a una misma circunferencia. Demostrarlo.

Problema

Bisectriz, dos triángulos, circuncírculos, potencia...

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 17:26.

La bisectriz del ángulo $B$ del triángulo $ABC$ corta a $CA$ en $D$. El circuncírculo del triángulo $BCD$ corta el lado $AB$ en $E$, y el circuncírculo del triángulo $ABD$ corta al lado $BC$ en $F$. Demostrar que $AE=CF$.

Problema

Dos homotecias en un trapecio

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 11:52.

Las prolongaciones de los lados $AB$ y $CD$ de un trapecio se intersecan en $K$, y sus diagonales en $L$. Si $M,N$ son los puntos medios de de las bases, demostrar que los puntos $K,L,M,N$ están en una misma recta.

Problema

Paralelogramo de baricentros

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2011 - 11:51.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.

Discusión

Problema sobre filas y columnas

Enviado por crimeeee el 11 de Junio de 2011 - 22:43.

 Nuevamente vuelvo a pedir ayuda en esta excelente comunidad. El problema dice así:

En un tablero de $m\times n$ las filas se numeran de $1$ a $m$ y las columnas de $1$ a $n$. En cada casilla se escribe el resultado de multiplicar el numero de la fila por el de la columna. Luego se quitan las casillas interiores del rectángulo de $(m-2)\times (n-2)$, dejando un marco de ancho $1$. Las casillas de este marco se pintan alternadamente de blanco y negro. Si $m$ y $n$ son ambos impares, calcular la resta de la suma de los números de las casillas negras menos la suma de los números de las casillas blancas.

Espero que alguien me ayude. Muchas gracias.

Entrada de blog

Problem solving con homotecia

Enviado por jmd el 9 de Junio de 2011 - 12:42.

Como se sabe, la perspectiva transformacional en geometría permite el movimiento de las figuras y la transferencia de propiedades desde la figura a la figura transformada. De esta manera, la utilidad principal de esta perspectiva es la simplificación del problema, a la manera de un cambio de variable en álgebra. Voy a discutir en este post el caso de la homotecia (una transformación geométrica de muy bajo perfil en las matemáticas escolares) y su uso en el problem solving elemental a través de varios teoremas básicos de la geometría.

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Cuatro problemas geométricos resueltos vía congruencia de triángulos

Enviado por jmd el 3 de Junio de 2011 - 21:12.

Uno de estos días abrimos en la Universidad (de Tamaulipas) un taller sabatino denominado “Taller de ciencia para jóvenes”. Acudieron a la convocatoria dos profesores de secundaria con 7 alumnos y un profesor jubilado.

El que esto escribe estuvo a cargo de la primera sesión con la intención de empezar a desarrollar el tema “Números complejos y Geometría Euclideana”, un tema que me parece muy productivo para la solución de problemas geométricos desde un punto de vista algebraico.

 
Entrada de blog

Dos problemas de construcción --con homotecia obligada

Enviado por jmd el 31 de Mayo de 2011 - 18:50.

En un post anterior se plantearon dos problemas de construcción para ilustrar el poder de la homotecia en el problem solving de geometría. Aquí voy a resolverlos y a comentarlos, dado que --según creo-- merecen un post aparte. ("A: ¿Quieres decir que a la homotecia se le cocina aparte?"  "JMD: Bueno, creo que lo que quiero decir es que el chiste no está en la homotecia misma, sino en saberla menear.")

Primer problema

Sea dado un ángulo y un punto en su interior. Construir una circunferencia tangente a los lados del ángulo y que pase por el punto.

Solución y discusión del primer problema

Entrada de blog

Recíproco de Tales y el criterio LAL de semejanza

Enviado por jmd el 30 de Mayo de 2011 - 18:50.

El teorema de Tales para triángulos es bastante intuitivo pues recurre a la conocida configuración de las paralelas y la transversal: si paralela a la base, entonces los segmentos son proporcionales. 

Sin embargo, el recíproco de Tales nos dice que si los segmentos que determina una transversal en dos lados de un triángulo son proporcionales, entonces esa transversal es paralela al tercer lado.

Problema

Transformación geométrica de una circunferencia

Enviado por jmd el 26 de Mayo de 2011 - 17:40.

 Sean dadas dos circunferencias de radios diferentes y una afuera de la otra, y $H$ la intersección de sus tangentes exteriores comunes. Demostrar que para cualquier punto $A$ en una de las circunferencias, existe un punto $B$ en la otra de tal manera que $HA\cdot{HB}=HP\cdot{HQ}$, donde $P,Q$ son los puntos de tangencia de una de las tangentes comunes.

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