Como se sabe, la perspectiva transformacional en geometría permite el movimiento de las figuras y la transferencia de propiedades desde la figura a la figura transformada. De esta manera, la utilidad principal de esta perspectiva es la simplificación del problema, a la manera de un cambio de variable en álgebra. Voy a discutir en este post el caso de la homotecia (una transformación geométrica de muy bajo perfil en las matemáticas escolares) y su uso en el problem solving elemental a través de varios teoremas básicos de la geometría.
Algunas propiedades básicas de la homotecia
1) Es fácil ver, a partir de la definición de homotecia, que
En una homotecia $H(O,k)$ el único punto en el plano que permanece fijo (es invariante bajo la homotecia) es el centro $O$ de la homotecia.
Demostración
Porque $X$ se transforma en sí mismo si y sólo si $OX=kOX$ ($k$ no nulo y distinto de 1). Y esto sucede si y sólo si $OX=0$. En resumen, $X$ permanece invariante si y sólo si $X$ es el centro $O$ de homotecia.
2) De la definición de homotecia (asociada a un centro O y a una razón $k$ no nula), se sigue inmediatamente que
Una recta se transforma, bajo la homotecia, en una recta paralela
Demostración
Dados dos puntos $A,B$, sus imágenes $A',B'$ (bajo la homotecia) cumplen --por definición-- que $OA'=kOA, OB'=kOB$, con $A'$ en la recta $OA$ y $B'$ en la recta $OB$. Pero entonces tenemos la configuración de Tales: el triángulo $OAB$ con una transversal $A'B'$ que corta $OA$ y $OB$.
De aquí que --por el tercer criterio de semejanza o criterio LAL-- los segmentos $AB$ y $A'B'$ son paralelos.
Perspectiva homotética de la configuración de Tales
La perspectiva homotética no ve, en la configuración de Tales, un triángulo con una paralela a la base (as usual), sino que ve dos triángulos y la transformación de uno en el otro (se ve el desplazamiento de la paralela a la base hacia la base). De ahí que la perspectiva homotética formule las proporciones que relacionan dos triángulos semejantes: $AB/AD=AC/AE=BC/DE$.
Nótese que, bajo esta perspectiva --íntimamente asociada al tercer criterio de semejanza--, primero se llega a la semejanza (por el tercer criterio) y de ahí se concluye el paralelismo (gracias a los ángulos correspondientes iguales).
Destaquemos la diferencia: Usualmente, en la configuración de Tales se dice "$DE$ es paralela a la base $BC$... por tanto, los triángulos $ABC$ y $ADE$ son semejantes"; en homotecia, en cambio, primero se establece la semejanza con el tercer criterio, y de ahí se concluye el paralelismo. En ambos casos se aplica el criterio de ángulos correspondientes iguales, sólo que en el primer caso se usa para establecer semejanza, y en el segundo para establecer paralelismo.
Esta desviación de lo usual (una "anomalía") es quizá lo que hace de la homotecia un tema difícil en las matemáticas escolares. Pues la forma usual de ver la configuración de Tales se convierte para el aprendiz en un obstáculo epistemológico muy difícil de salvar.
Otra característica de la homotecia que la hace difícil de digerir es el uso de la orientación de las rectas o segmentos: si la razón de homotecia es negativa, el significado postulado (por definición) es que la dilatación o contracción es en el sentido contrario al que va del centro al punto a transformar.
Por ejemplo, como en el caso del centro de gravedad $G$ de un triángulo $ABC$ tomado como centro de homotecia, para transformar los vértices en los puntos medios de los lados opuestos, la razón de homotecia es -2. Esta razón negativa significa que el centro $G$ deja en lados opuestos a los puntos homotéticos: si $L,M,N$ son los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$ y el centro es $G$, entonces $A$ se transforma en $L$, $B$ en $M$, etc. de tal manera que $GA=-2GL,GB=-2GM,GC=-2GN$.
Teoremas elementales demostrados con homotecia
Teorema de la línea media: el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de éste.
Demostración
Sean $D,E$ los puntos medios de los lados $AB,AC$, respectivamente. Entonces, tomando como centro el vértice $A$, $D$ se transforma en $B$ y $E$ en $C$, con razón de homotecia $k=2$. Se concluye que $DE//BC$ y $BC=2DE$.
(Nota: un argumento intermedio es el tercer criterio de semejanza, pero una vez manejando la homotecia, ese criterio queda incorporado implícitamente y a lo que se recurre es a las propiedades de la homotecia.)
Concurrencia de medianas: Las medianas de un triángulo concurren en un punto $G$ --denominado el centro de gravedad o baricentro.
Demostración
En esta demostración mediante homotecia vamos a usar un teorema sobre homotecias que dice:
En dos triángulos de lados correspondientes paralelos, las rectas que unen los vértices correspondientes son concurrentes, es decir, los triángulos son homotéticos.
(Se demostrará en otro post. No es especialmente difícil pero, al igual que la del tercer criterio de semejanza, la prueba es por contradicción y...)
Sean $L,M,N$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$. Por el teorema de la línea media, los triángulos $ABC$ y $LMN$ tienen sus lados correspondientes paralelos. Por tanto, son homotéticos. Es decir, los segmentos que unen pares de vértices correspondientes ($AL,BM,CN$) son concurrentes, digamos en el punto $G$.
Tenemos entonces la homotecia con centro en $G$ que manda $A$ en $L$, $B$ en $M$ y $C$ en $N$. Para ver que la razón es $K=-2$, basta observar que el centro de homotecia $G$ es intermedio a los puntos homotéticos y recordar que, por el teorema de la línea media, $AB=2LM$, etc.
Nota: Otra dificultad de la homotecia es que se tiene que decodificar la razón de homotecia al lenguaje usual de las razones en geometría. $GA=-2GL$ se debe decodificar a "de $A$ a $G$ recorro el doble de distancia que $G$ a $L$" o mejor "$G$ está a 2/3 de la distancia entre $A$ y $L$".
Teorema del ortocentro y el circuncentro: En un triángulo $ABC$, la distancia del ortocentro a un vértice es el doble que la del circuncentro al lado opuesto.
Demostración
Sean $BR$ un diámetro del circuncírculo de $ABC$, $AD$ una altura, $H$ el ortocentro y $M,N$ los puntos medios de los lados $BC,AB$, respectivamente.
Podemos ver que, con centro en $B$ y razón $k=2$, $O$ se transforma en $R$, $M$ en $C$, y $N$ en $A$. Por tanto, $RC//OM$ y $AR//NO$. De aquí que $ARCH$ es un paralelogramo y se logran las igualdades $2OM=RC=AH$ (por el teorema de la línea media y el paralelogramo). Como se quería.
La recta de Euler: En todo triángulo $ABC$, el circuncentro $O$, el gravicentro $G$, y el ortocentro $H$ se encuentran sobre una misma recta y $OG=2GH$.
Demostración
El circuncentro $O$, siendo la intersección de las mediatrices, es el ortocentro del triángulo medial (unión de puntos medios). Y, como sabemos, el triángulo y su medial son homotéticos con centro $G$ y razón $k=-2$. De aquí que sus ortocentros se corresponden en la homotecia. Por tanto $G$, siendo el centro de la homotecia, está alineado con $O$ y $H$, y $HG=2OG$.
Los saluda
jmd