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Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Cada uno de los números del 1 al 4027 se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde.
Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son cuates si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números.
Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del 1 al 2014 sean verdes.

Soy ex-olimpico y me gustaría saber si alguno de ustedes tiene el e-mail del Ing. Carlos Alcocer, hace mucho tiempo lo tenía pero se me extravio.

Gracias!

Espero contar con su respuesta.

Saludos,

RMS

1. Los números del 1 al 28 se acomodan al azar en una cuadrícula de $4\times7$ (4 filas y 7 columnas, un número en cada cuadrito). A continuación se consideran los productos $P_1$ de todos los números en la primera fila, $P_2$ el de todos los números en la segunda fila y, de la misma manera, se obtienen $P_3$ y $P_4$. Demuestra que alguno de estos cuatro productos es múltiplo de 128.

2. Sea K un punto sobre el arco AB del circuncírculo del triángulo isósceles $ABC$ (con AB=BC). Demuestra que $$AK\cdot{KC}=AB^2-KC^2$$