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Adopta un abuelito
El chico fresa es también un filántropo. De acuerdo a la política "adopta un abuelito" del gobernador, decidió contribuir a la felicidad de los 5 adultos mayores de su manzana. Deseando que disfrutaran de los placeres de la realidad virtual, les regaló sus juegos de video que compró el año pasado en McAllen (este año se casa y siente que su adicción al Xbox debe quedar en el pasado). Al primero le regaló la mitad de ellos menos 8; al segundo, la mitad de los restantes menos 8; al tercero, la mitad de los que le quedaban menos 8, y lo mismo hizo con el cuarto. Le quedaron 20 y se los dio al quinto adulto mayor de su manzana.
Una sucesión aritmética
El décimo término de una sucesión aritmética es 20 y la suma de sus primeros 10 términos es 65. Calcular el primer término.
Longitud del ciclo --de residuos potenciales
Sean $a,m$ enteros positivos y primos entre sí, y $o$ el exponente entero positivo más pequeño que cumple $a^o\equiv 1\pmod m$. Demostrar que si $a^u$ es equiresidual con el 1 (mod m) entonces $u$ es múltiplo de $o$.
La respuesta está en el ciclo
Calcular los residuos que dejan las potencias de 2 en la sucesión geométrica $2,2^2,2^3\ldots$ al dividir entre 17 y, sin hacer el cálculo directo, diga cuál es el residuo que deja $2^{21}$ en la división entre 17 analizando el patrón de los primeros 10 residuos.
Ciclos de residuos en una progresión geométrica
Sean $a$ y $g$ enteros positivos coprimos con un módulo $m$ (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre $m$) los términos de la progresión aritmética $a,ag,ag^2,\ldots$. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si $t$ es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces $t\leq \phi(m)$
Teorías de encapsulación (del proceso en objeto) --en aprendizajes matemáticos
El concepto de encapsulación en la investigación científica de la enseñanza de las matemáticas está inspirado en las ideas de Piaget sobre el desarrollo cognitivo del niño. De ahí que las teorías de encapsulación vean el desarrollo cognitivo a través de 1) acciones sobre objetos existentes, las cuales 2) se interiorizan en procesos, para después 3) ser encapsulados como objetos mentales.
De acuerdo con Pegg y Tall son tres las teorías contemporáneas de la encapsulación proceso-objeto:
Digresión sobre el criterio LLA de congruencia
A este criterio se acostumbra llamarlo el caso ambiguo y, para identificar el caso en que sí se da la congruencia (el ángulo es el opuesto al lado mayor), se le denomina criterio LlA. Para convencernos de la veracidad de este criterio consideremos la figura siguiente:
Problema 4
Del mismo sitio mencionado arriba tomo el
Problema 4.El triángulo ABC es rectángulo isósceles. En su interior se toma un punto D de tal manera que DC=AC=AB. Encontrar el ángulo DCA si se sabe que es igual al DBC.
Análisis:
Lo primero que se debe hacer es dibujar la figura. Lo de equilátero isósceles es fácil. Lo del punto D que cumpla las condiciones es más difícil.
Problema 3
De http://www.arrakis.es/, un sitio muy recomendable para los aficionados a las matemáticas de concurso --y que no anden ya en las internacionales— tomo el
Problema 3.Un triángulo ABC tiene en su interior un punto Q de tal manera que los ángulos en la base AB del ABQ son 10 y 20, en la base BC de BCQ son 100 y X, y en la base CA de CAQ son de T y 10. Encontrar T.
