Publicaciones Recientes
Línea de Euler
Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.
Ejercicio con baricentro y circuncentro
En la figura se muestra un triángulo $ABC$ y su circuncírculo. El segmento que va desde el circuncentro $O$ (concurrencia de mediatrices) al gravicentro $G$ (concurrencia de medianas) se ha prolongado hasta cortar a la altura $AD$ en $H$.
Demostrar:
- (a) Los triángulos $OMG$ y $HAG$ son semejantes
- (b) El segmento $GH$ mide el doble que el $OG$
- (c) En $H$ concurren las tres alturas
Ejercicio con ortocentro
En la figura, $H$ es la intersección de las alturas, y la altura $AD$ del triángulo $ABC$ se ha prolongado hasta cortar el circuncírculo en $P$.
Demostrar:
- (a) El triángulo $HBC$ es isósceles
- (b) La recta $BC$ es mediatriz de $HP$
- (c) Los puntos $H$ y $P$ son simétricos respecto al lado $BC$
Ortocentro, reflexión axial, circuncírculo
Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.
PISA 2009, OCDE-recomendaciones 2010, y efecto Casandra
En este post sugiero la razón por la que una de las recomendaciones de la OCDE para evitar el triste futuro (y presente) educativo de México es imposible de realizar, e incluyo uno de los problemas de matemáticas de PISA 2009, la evaluación internacional de la OCDE que mide el estado de la educación de los países miembros.
Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)
Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$
Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)
Cuadrícula n por 4 (P4)
Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula $ n\times 4 $, cada renglón es igual a
| 2 | 0 | 1 | 0 |
Un cambio es tomar tres casillas
- consecutivas en el mismo renglón y
- con dígitos distintos escritos en ellas
y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera
0 → 1, 1 → 2, 2→0
Dos circunferencias tangentes exteriormente (P3)
Sean $ C_1 $ y $ C_2 $ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $ A $. Se traza una recta tangente a $ C_1 $ en $ B $ y secante a $ C_2 $ en $ C $ y $ D $; luego se prolonga el segmento $ AB $ hasta intersecar a $ C_2 $ en un punto $ E $. Sea $ F $ el punto medio del arco $ CD $ sobre $ C_2 $ que no contiene a $ E $ y sea $ H $ la intersección de $ BF $ con $ C_2 $. Muestra que $ CD,AF $ y $ EH $ son concurrentes.
Lectura de una tabla
La tabla de la figura muestra las frecuencias del número de puntos que los concursantes de la 24 Olimpiada Mexicana de Matemáticas obtuvieron en cada uno de los 6 problemas del examen nacional.
