Publicaciones Recientes

Problema

P3. OMM 1989. Número de 1989 cifras

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 11:16.

Pruebe que no existe un número positivo de 1989 cifras que tenga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas las cifras sea igual al producto de las mismas.

Problema

P2. OMM 1989. Múltiplos encadenados

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 11:13.

Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:

  • $b^2$ es múltiplo de $a$;
  • $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
  • $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
  • $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
  • pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.
Problema

P1. OMM 1989. Áreas y medianas

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 11:09.

Considere un triángulo $ABC$ en el que la longitud del lado $AB$ es 5, las medianas por $A$ y por $B$ son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las longitudes de los lados $BC$ y $AC$.

Problema

P8. OMM 1988. Esfera en octaedro

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:20.

Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
 

Problema

P7. OMM 1988. Subconjuntos ajenos de {1,2,...,m}

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:18.

Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
 

Problema

P6. OMM 1988. Lugar geométrico del incentro

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:13.

Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.

Problema

P5. OMM 1988. Manipulación algebraica con el MCD

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:12.

Si $a$ y $b$ son dos enteros positivos primos relativos y $ n $ es un entero, pruebe que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$

Problema

P4. OMM 1988. Ocho enteros entre uno y ocho

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:07.

¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8$ no necesariamente distintos, tales que $1\leq{a_1}\leq\ldots\leq{a_8}\leq8$?
 

Problema

P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:05.

Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
 

Problema

P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 18:56.

Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
 

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