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Área de pentágono
Por los vértices D y A del cuadrado ABCD de lado 5 se trazan, respectivamente, los segmentos paralelos DE y AF hacia afuera del cuadrado, de tal manera DE mide 4 y es perpendicular a EF. Encuentra el área del pentágono ABCEF.
Ecuación de suma de fracciones
Razonado con suma de dígitos
Mauricio ya cumplió años en el 2010. Al sumar los dígitos de la fecha de su nacimiento se dio cuenta que obtenía su edad. ¿Cuántos años puede tener Mauricio?
Seccionado de un cubo de lado 3
Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubitos unitarios. ¿De cuántas formas podemos elegir tres cubitos de manera que sus centros estén en una misma recta? Nota: El centro de un cubito se localiza en el punto medio de una diagonal mayor.
Demostrar perpendicular
Sean ABC un triángulo rectángulo y M el punto medio de la hipotenusa BC. Sus catetos cumplen que CA es menor que AB. Se coloca un punto D sobre AB de manera que CA=AD. Finalmente, sea E el punto común de AM y CD. Si F es un punto sobre BC tal que EF es paralela a BC AC, demostrar que AM es perpendicular a FD.
Tangentes a circunferencia desde el centro de otra
Considere las circunferencias a y b de centros A y B respectivamente. Desde el centro A se trazan las tangentes a b y éstas cortan a a en los puntos P y Q. Desde el centro B se trazan las tangentes a a que cortan a b en R y S. Demostrar que PQRS es un rectángulo.
Número igual a la suma del factorial de sus dígitos
Encontrar todos los números de 3 dígitos de la forma abc (a es el dígito de las centenas, b es el dígito de las decenas y c es el dígito de las unidades) que cumplan con: abc=a!+b!+c!. (Nota: n! es el producto n(n-1)...(2)(1) y se lee n factorial.)
Sumas de productos de filas y columnas en un tablero
En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
Elección condicionada de 3
¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto C={1,2,3,...,19,20} de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?
Círculo de diámetro la base de un triángulo
Sea ABC un triángulo tal que la circunferencia S de diámetro BC pasa por el punto medio M de AB. Sea N un punto sobre S de manera que MN es diámetro de S. Probar que el área del triángulo ABC entre el área del triángulo MNC es 2.
