IX ONMAS 2009
Demostrar perpendicular
Sean ABC un triángulo rectángulo y M el punto medio de la hipotenusa BC. Sus catetos cumplen que CA es menor que AB. Se coloca un punto D sobre AB de manera que CA=AD. Finalmente, sea E el punto común de AM y CD. Si F es un punto sobre BC tal que EF es paralela a BC AC, demostrar que AM es perpendicular a FD.
Tangentes a circunferencia desde el centro de otra
Considere las circunferencias a y b de centros A y B respectivamente. Desde el centro A se trazan las tangentes a b y éstas cortan a a en los puntos P y Q. Desde el centro B se trazan las tangentes a a que cortan a b en R y S. Demostrar que PQRS es un rectángulo.
Número igual a la suma del factorial de sus dígitos
Encontrar todos los números de 3 dígitos de la forma abc (a es el dígito de las centenas, b es el dígito de las decenas y c es el dígito de las unidades) que cumplan con: abc=a!+b!+c!. (Nota: n! es el producto n(n-1)...(2)(1) y se lee n factorial.)
Sumas de productos de filas y columnas en un tablero
En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
Elección condicionada de 3
¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto C={1,2,3,...,19,20} de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?
Círculo de diámetro la base de un triángulo
Sea ABC un triángulo tal que la circunferencia S de diámetro BC pasa por el punto medio M de AB. Sea N un punto sobre S de manera que MN es diámetro de S. Probar que el área del triángulo ABC entre el área del triángulo MNC es 2.
Razón de áreas
En el rectángulo ABCD, los puntos P,Q,R,S, uno en cada lado, dividen el lado donde están en razón 3:2. ¿Cuál es el cociente del área del paralelogramo PQRS entre el área de la región del rectángulo que queda afuera del paralelogramo? (N del E: en el examen se dio la figura.)
Minimizar invitaciones
En el Messenger (MSN), para que dos personas estén en contacto, es suficiente con que una de ellas envíe una invitacíon a la otra y ésta la acepte. Luis tiene 114 amigos de la ONMAS 2009, y ninguno de ellos se tiene agregado al Messenger entre sí. Luis les propone a ellos la idea de ponerse en contacto. ¿Cuál es el número mínimo de invitaciones aceptadas para que Luis y todos sus amigos estén en contacto por el MSN?
Suma cuadrática de 3 dígitos
¿Cuantas ternas de digitos diferentes (x,y,z) es posible formar, de modo que la suma x2+y2+z2 sea multiplo de 5? Nota: las ternas (0,1,3) y (1,0,3) son diferentes.
