En un tablero de 2009 x 2009 cuadritos, se han llenado todos los cuadritos usando solamente 1 o -1, y se ha obtenido el producto de los números de cada fila y de cada columna. Encontrar todas las posibles sumas de estos 4018 productos.
Ejemplo: en un tablero de 3x3 un posible llenado es:
1 1 1
1 1 -1
1 1 1
y la suma de los 6 productos 1 + 1 -1 +1 -1 +1 = 2
Cuando se altera una columna
Cuando se altera una columna o una fila con un número impar de -1's, el resultado terminará en -1. Entonces, para empezar, hacer la observación de que la suma, cuando sucede esto, es como si se restaran dos (?), ya que no solo le quitaste un 1, sino que aparte se lo estás restando. La manera más fácil de ver esto es como en el ejemplo: tengo 6 1's, pero luego altero 1, entonces tengo ahora sólo cinco 1's y un -1, lo que resulta en 4.
Sabiendo esto, tomamos el caso donde sólo hay un -1, que quedaría 2007+2007 = 4014. Los dos resultan en 2007, ya que ese -1 se ubica (como si fueran “x” y “y” en un plano) en una fila y columna, entonces a cada 2009 se le restan dos, por así decirlo.
Después vemos si hay dos veces un -1. Suponiendo spg (es lo mismo que estén en la misma fila o columna) que están en la misma fila, por ejemplo, ésta resultaría positiva, pero eso implica que hay dos columnas que terminan negativas, lo que resulta como 2009+2005=4014. Si están en diferentes filas y columnas, entonces se alteran cuatro 1's (dos por fila y dos por columna), lo que resulta como 2005+2005=4010.
Si hay 3 veces aumentan los casos, como que los 3 estén en 1 columna, entonces dicha columna sale negativa, y aparte tres filas, lo cual altera cuatro 1's. Si están en forma de L:
-1
-1 -1
altera dos 1's, mientras que otros dos salen positivos. Si están dos juntos en la misma fila y uno aparte, altera también cuatro 1's. Tres de las columnas y uno de las filas (el que está aparte).
Aquí lo que se puede ver es que lo que no varía/cambia es la reducción de 4 en 4, por lo que, trabajando con módulo 4, se puede ver que los posibles resultados son los congruentes con 2 (mód 4).
(La idea la tenía por un problema igualito de los entrenamientos, pero no tengo el cuaderno a la mano y no recuerdo lo que redacté o el argumento que usé xdddddd).