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El juego de biribol
En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan n personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de n es posible organizar un torneo con tales características.
Desigualdad con áreas de dos triángulos
Sean ABC un triángulo y X,Y,Z puntos interiores de los lados BC,CA,AB respectivamente. Sean A′,B′,C′ los circuncentros correspondientes a los triángulos AZY,BXZ,CYX, respectivamente. Demuestre que:
(A′B′C′)≥(ABC)/4
y que la igualdad ocurre si y sólo si AA′,BB′ y CC′ son concurrentes.
Nota: Para un triángulo cualquiera RST, denotamos su área con (RST).
Ecuación sin soluciones enteras
Pruebe que la ecuación x2008+2008!=21y no tiene soluciones enteras (x,y)
Divisibilidad en un polinomio cúbico
Sean m y n números enteros tales que el polinomio P(x)=x3+mx+n tiene la siguiente propiedad: si x y y son enteros y 107 divide a P(x)−P(y), entonces 107 divide a x−y. Demuestre que divide a 107 divide a m.
Bisectriz externa en un escaleno
Sean ABC un triángulo escaleno y l la bisectriz exterior del ∠ABC. Sean P y Q los pies de las perpendiculares a la recta l que pasan por A y C, respectivamente. Sean M y N las intersecciones de CP y AB y AQ y BC, respectivamente. Pruebe que las rectas AC,MN y l tienen un punto en común.
Suma de max-min diferencias
Considere los números 1,2,3,…,20082 distribuidos en un tablero de 2008×2008, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea S la suma de los 4016 números obtenidos. Determine el mayor valor posible de S.
Familia de hexágonos convexos
Sea F la familia de todos los hexágonos convexos H que satisfacen las siguientes condiciones:
- (a) los lados opuestos de H son paralelos;
- (b) tres vértices cualesquiera de H se pueden cubrir con una franja de ancho 1.
Determinar el menor número real l tal que cada uno de los hexágonos de la familia F se puede cubrir con una franja de ancho l.
Nota: Una franja de ancho l es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia l (incluidas ambas rectas paralelas).
Números a-tres-vidos
Un número natural n es atresvido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al 1 y al n, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atresvido?
Saltos dragón en un tablero
En un tablero cuadriculado de tamaño 19×19, una fiha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza 4 casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y 1 casilla en dirección perpendicular a la anterior.
Disputa por un territorio circular
Dos equipos, A y B, disputan el territorio limitado por una circunferencia. A tiene n banderas azules y B tiene n banderas blancas (n≥2, fijo). Juegan alternadamente y A comienza el juego.
