El cuadrado de Polya --con Geogebra

En este post comento sobre un posible proceso de solución al problema clásico de inscribir un cuadrado en un triángulo, usando el software de geometría dinamico Geogebra.

El cuadrado de Polya

En el problem solving de las matemáticas escolares hay algunos problemas que son ya legendarios. Uno de ellos es el problema del cuadrado de Polya. Se trata de inscribir un cuadrado en un triángulo. A continuación su enunciado:

Inscribir un cuadrado en un triángulo $ABC$. Dos de los vértices del cuadrado deben estar en la base $BC$, y los otros dos en los otros dos lados, uno en cada uno.

El problema aparece en la página 23 y 24 de su libro How to solve it. Polya lo propone como un ejemplo de la estrategia resolutiva denominada "relajar las condiciones". Y aunque da pistas para su solución, no llega a resolverlo.

El aprendiz ideal de Polya

Lo que George Polya espera del aprendiz es que experimente y conjeture: dibujando varios cuadrados $PQRS$ (en los que $Q,R$ están en la base $BC$ del triángulo y $P$ en el lado $AB$), se espera que el estudiante busque una forma de que $S$ esté en el lado $CA$. Y que llegue a un procedimiento de construcción.

Aunque el aprendiz no lo sepa, lo que está haciendo --si es que sigue la conducta esperada-- es tratar de conjeturar el lugar geométrico del vértice $S$ del cuadrado, cuando $P$ se mueve sobre el lado $AB$.

El libro How to solve it es de 1945, con una segunda edición en 1971. Claramente en esa época no existía el Geogebra, con el que ahora podemos experimentar y conjeturar de manera más fácil --por lo menos eso suponemos. En esa época no había opción: regla y compás y papel y lápiz.

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Experimentar y conjeturar con Geogebra

En lo que sigue voy a discutir la forma en que se puede usar Geogebra para conjeturar una forma de ubicar el vértice $S$ en el lado $CA$. La discusión es resultado de mi experiencia personal al tratar de seguir con Geogebra la conducta esperada del aprendiz ideal de Polya al resolver el problema.

De manera totalmente ateórica, aunque conociendo algo del uso de las herramientas de Geogebra, se pueden dibujar varios cuadrados como si se tuviera sólo papel y lápiz. Polya esperaba que de ahí surgiera la conjetura.

Polya quizá esperaba que el aprendiz pudiera ver el triángulo de Tales en la figura anterior, posiblemente con la ayuda del profesor: "¿recuerdas el teorema de Tales que vimos la semana pasada?"

Pero incluso si el aprendiz pudiera ver Tales en la figura ¿cómo podría concluir de ello un procedimiento de construcción? Diría el aprendiz: "Tales es obvio al unir las esquinas superiores derechas pero... ¿y eso qué?" Y el profesor: "Tienes que ver la idea... sigue pensando"

Cuadrado ingenuo con puntos independientes

La figura anterior no serviría para una experimentación con herramienta de rastro. Pues los cuadrados están construidos con la herramienta polígono, lo cual significa que sus vértices son independientes: al arrastrar un vértice el cuadrado se deforma, pues solamente se mueve ese vértice. Y aunque de cualquier manera se puede experimentar, el tratar de formar el cuadrado que se pide arrastrando cada uno de los vértices, es un ejercicio estéril desde un punto de vista conceptual.

¿Experimentación con Geogebra? OK ¡Pero tienes que aprender a usarlo adecuadamente!

Tenemos entonces que al software amable no le puedes decir "¡Hazme la tarea!" Y eso sin importar qué tan amable sea. Y si bien la experimentación con lápiz y papel es una gran consumidora de tiempo, con Geogebra tampoco el aprendiz puede irse por la vía corta: no puede librarse de la exigencia de aprender a usarlo de manera adecuada.

De manera adecuada significa, para este problema por lo menos, aprender a dibujar un cuadrado experimental con miras a una conceptualización posterior. Y ello implica tener en la figura un punto arrastrable y otro que deje rastro.

Esto se logra haciendo depender del punto arrastrable los puntos restantes de la figura. En particular, el punto del que nos interesa el rastro debe depender del punto arrastrable.

El punto arrastrable en cuadrado experimental

Enseguida se detalla un procedimiento posible de construcción de un cuadrado experimental para el problema que nos ocupa:

• Elegir un punto $P$ en el lado $AB$ (el triángulo sí se puede dibujar con la herramienta polígono, pues no se va a mover);
• bajar perpendicular desde $P$ al lado $BC$ y ubicar un punto $Q$ en la intersección (el pie de la perpendicular);
• trazar paralela a $BC$ por $P$ y ubicar el punto de intersección con el lado $CA$;
• trazar bisectriz del ángulo recto formado en $P$ por la perpendicular y la paralela;
• ubicar el punto de intersección $R$ de la bisectriz con el lado $BC$;
• levantar perpendicular a $BC$ por $R$ y ubicar el punto $S$ de intersección con la paralela a $BC$ ($S$ va a ser el punto que dejará la huella)

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(Después de hacer esos trazos se pueden ocultar los elementos no estéticos de la figura si es que se va a subir a un sitio web como MaTeTaM.) Finalmente se activa el rastro a $S$ y se arrastra $P$ sobre el lado $AB$. El lugar geométrico del punto $S$ queda remarcado (es una recta).

Cuadrado experimental pero sin rastro

Otra forma de lograr el cuadrado de Polya con experimentación pero sin rastro:
--Elegir $P$ sobre $AB$;
--bajar perpendicular desde $P$ al lado $BC$;
--nombrar el pie de esa perpendicular en $BC$ (con $Q$, digamos);
--trazar paralela por $P$ a la base $BC$;
--nombrar la intersección de esa paralela con el lado CA (con $F$, digamos);
--trazar bisectriz del ángulo $CQP$;

Ahora sí: arrastrar $P$ sobre $AB$; parar cuando la bisectriz pase por $F$ (el cuadrado de Polya se ha logrado).

Notemos que, en ambas construcciones, todos los puntos del cuadrado dependen de $P$.

Comentarios finales

Como ya habrá notado el lector, la herramienta de rastro nos permite conjeturar que el lugar geométrico del cuarto vértice del cuadrado es una recta. Pero, como diría algún aprendiz "¿y eso qué?". La situación didáctica que tenemos --con Geogebra y sin Geogebra-- es que el aprendiz no puede ahorrase la parte conceptual (¡tiene que ver la idea clave!). Incluso la figura con punto arrastrable incluye una componente conceptual: perpendicular por $P$, paralela por $P$, etc.

Queda la regla de que debes hacer depender todo del punto arrastrable. Pero de cualquier manera hay una buena parte del problema que tiene que ser conceptual --en particular la dependencia del punto $P$.

Por otro lado, la conclusión que se debe extraer de ese lugar geométrico con miras a construir el cuadrado pedido tampoco es obvia. Como diría algún profesor: "Tienes que ver la idea... sigue pensando" (Lo cual, según creo, es una demanda excesiva para los estudiantes de nuestros días.) Pero entonces para qué nos sirvió el Geogebra si de cualquier manera hay que pensarle...

Los saluda
jmd

PD: Se me olvidaba... ¿cuál es la idea que tiene que ver el estudiante? La idea es que si dibujas un cuadrado cualquiera (bajo las condiciones arriba descritas), el cuadrado pedido se obtiene prolongando el segmento que une el vértice $B$ y el cuarto vértice del cuadrado dibujado, hasta cortar el lado $CA$, esta intersección es el cuarto vértice del cuadrado pedido. La demostración es por Tales.

PD2: Si solamente quieren entregar la tarea, ésta se las pueden hacer en Yahoo Respuestas, si ofrecen los 10 puntos...