El difícil del estatal (OMM_Tam_2011)

¿Por dónde empezar a estudiar matemáticas de concurso para prepararse para los concursos? Ese es un sentir generalizado entre los asesores que acuden con sus alumnos a los concursos --y quizá también de sus asesorados que participan en las olimpiadas de matemáticas, 

En este post discutiré el contenido teórico indispensable para resolver el problema 4 del concurso estatal de la OMM Tamaulipas 2011. De ahí trataré de derivar una secuencia de aprendizaje que podría ser útil para los adolescentes que deseen seguir superándose en problemas geométricos de concurso. El ejercicio de generar esta serie de temas iniciales para estudiar geometría de concurso me sirvió para darme cuenta de que MaTeTaM ha crecido mucho y que me falta poner más links que conecten los materiales de estudio. 

El problema y su dificultad

El problema 4 del estatal OMM Tamaulipas 2011 nadie lo resolvió. Quizá porque la estrategia de demostración de la perpendicularidad (basada en ortocentro) es poco usual y por ello nadie la pudo ver --ni siquiera los seleccionados 2010.

Sucede que si analizamos el problema y vemos varias de sus posibles procedimientos de solución, uno se mete a un mundo de terminología y conceptos, y teoremas de la geometría euclidiana, dentro del cual hay que saber moverse como una condición sine qua non se puede resolver ese problema de geometría.

Pero incluso quien domine esa terminología y ese conjunto de conceptos geométricos, aún así puede llegar a tener problemas para generar la idea clave con la que se abre la ruta hacia una solución. De esta manera, el problema tiene una parte creativa y otra conceptual --como casi todos los problemas de geometría de concurso.  El problema es el siguiente:

En un triángulo ABC, con AB distinto de AC, el punto medio de BC es L. La bisectriz del ángulo CLA intersecta al lado AC en M y la del ángulo BLA intersecta al lado AB en N. El círculo que pasa por L, M y N corta de nuevo a AL en X y a BC en Y . La recta XY se intersecta con las rectas LM y LN en los puntos P y Q, respectivamente. Muestra que NP y MQ son perpendiculares.

Soluciones

Las soluciones presentadas a continuación se basan todas en demostrar que Q es ortocentro del triángulo MNP. La siguiente figura sirve para todas.

Solución elemental

Puesto que LM es perpendicular a LN (por el dato de bisectrices), solamente tenemos que demostrar que XY es perpendicular a MN y el resultado se sigue.

Para ello, sea R la intersección de XY con NM. Como LM y LN son bisectrices, se tiene que los arcos XM y MY son iguales, y lo mismo es cierto de los arcos YN y NX (pues el ángulo MLY es el suplementario del CLM).

Por el teorema de las cuerdas cruzadas, el ángulo XRN es la semisuma de los arcos NX y MY. Así que multiplicando por 2 en numerador y denominador de esa semisuma y sustituyendo de manera conveniente las igualdades de arcos, se logra ver que el numerador es toda la vuelta, es decir, 360. Así que el ángulo XRN es de 90, como se quería.

Solución basada en que R es punto medio (con papalote)

Observando que el ángulo MLN es recto (los ángulos asociados a las bisectrices suman 180), se concluye que MN es diámetro. Si demostramos que R es punto medio de XY, el resultado se seguiría gracias al teorema de la cuerda mínima y el de concurrencia de alturas.

Para demostrar que R es punto medio de XY basta argumentar que los arcos XN y NY son iguales (por ser subtendidos por ángulos inscritos iguales). Porque entonces MXNY es papalote (kite).

Solución basada en que R es punto medio (con XL diámetro)

Otra forma de demostrar que R es punto medio es demostrando que XL es diámetro. En ese caso, la intersección de XL y MN es el circuncentro de MNL. Con ello se seguiría que NLO es isósceles y se llega a que MN//BC (alternos internos iguales). Y por el teorema de la línea media se llega a que R es punto medio de XY.

Ahora bien, para ver que XL es diámetro basta demostrar que el ángulo LNX es recto. Pero eso es fácil de ver si uno se da cuenta que los arcos interceptados por los ángulos NXL y NML son el mismo y lo mismo es cierto de los interceptados por MNX y MLX.

Temas de geometría para un entrenamiento inicial

Temas para la parte creativa (demostrar con ortocentro)

(Se tratará de llegar rápido al concepto de ortocentro a través de un encadenamiento lógico de teoremas elementales. Los temas ligan a material de MaTeTaM.)

Paralelas y transversal como punto de partida

Relaciones entre ángulos

Bisectriz y mediatriz como lugares geométricos

Rectas notables del triángulo
Concurrencia de mediatrices (circuncentro)
Concurrencia de bisectrices (incentro)
Concurrencia de alturas (ortocentro)

Sobre los conocimientos usados en la solución elemental

Teorema de las cuerdas cruzadas

Ángulos central e inscrito

Ángulos suplementarios
 

Sobre los conocimientos usados en la demostración con papalote

Teorema del triángulo isósceles

Circuncírculo y el otro teorema de Tales

Teorema de la cuerda mínima

Ángulos inscritos y centrales (y arco interceptado)

Teorema del cateto y la hipotenusa
Teorema del papalote
Formas de ver el papalote

Sobre los conocimientos usados en la demostración con línea media

Teorema de Tales

Teoremas de la línea media
 

Los saluda

jmd