Problemas del primer selectivo OMM_Tam_2011

En este post presento los 7 problemas del primer selectivo aplicado a la preselección Tamaulipas OMM 2011 y se añaden sugerencias para sus soluciones. Los problemas son elementales y no deberían presentar mayores dificultades para al menos la mitad de los preseleccionados.

Introducción

Atendiendo una invitación de Ramón Llanos, el primer entrenamiento de la preselección Tamaulipas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, Delegación Tamaulipas, estuvo a mi cargo.

En ese entrenamiento pude concretizar la propuesta de entrenamiento hecha en el post anterior denominado El difícil del estatal 

Es decir, iniciando con el quinto postulado de Euclides, se incluyeron los temas de geometría que enlisté en ese post, y añadí el de cuadriláteros cíclicos --como parte de la geometría básica del círculo.

Los problemas que a continuación presento constituyen el primer examen selectivo para la preselección. Son elementales y se restringen a los temas vistos en las tres sesiones del entrenamiento. Creo que pueden ser de alguna utilidad para los adolescentes que se inician en las matemáticas de concurso.

(Están pensados también como examen de práctica para afinar la comprensión de los temas abordados. Y para los no presentes en el entrenamiento, se pueden ver como ejercicios que reforzarían la comprensión de los conceptos enlistados en el post ya citado.)

 Los problemas del primer selectivo

1. Dos cuerdas AC y BD no cruzadas se trazan en un círculo. Si el ángulo CAD = 20 grados, y el ángulo ABD = 70 grados, encontrar la medida del ángulo CDA.

2. El radio de un círculo mide 5 unidades, AB es un diámetro y C es un
punto sobre la circunferencia de manera que CB mide 6 unidades. Encontrar la longitud de la cuerda AC.

3. Encontrar la distancia entre los centros de dos círculos que se cortan el uno al otro, si sus radios son r y R, y la longitud de su cuerda común es a.

4. La diagonal AC de un cuadrilátero cíclico ABCD es bisectriz de los
ángulos BAD y BCD. Demostrar que AC es un diámetro del circuncírculo de ABCD.

5. En un cuadrilátero ABCD, los ángulos en B y D son rectos, y AB = BC.
Encontrar la medida del ángulo BDC.

6. Los puntos A,B,C,D, están sobre una circunferencia en ese orden. AD se prolonga hasta E. La bisectriz del ángulo ABC corta la circunferencia de nuevo en F. Demostrar que FD es bisectriz del ángulo CDE.

7. Demostrar que en un cuadrilátero cíclico las bisectrices de dos ángulos opuestos cortan a la circunferencia en los extremos de un diámetro.

Sugerencias

1. Usar suplementariedad de dos formas: por cíclico y por suma de ángulos. La respuesta es 50 grados.
2. Usar el otro teorema de Tales y el de Pitágoras. La respuesta es AC=8.
3. La línea de centros y la cuerda común son diagonales de un papalote.
4. Usar mismo arco interceptado para establecer que el cuadrilátero es papalote, y aplicar el otro teorema de Tales.
5. Argumentar que el cuadrilátero es cíclico y usar el dato de isósceles. La respuesta es 45 grados.
6. Usar el hecho de que los puntos forman un cuadrilátero cíclico y el dato de bisectriz.

7. Usar arcos interceptados para demostrar que el arco FE es media vuelta dado que los angulos opuestos de un cíclico suman 180.

Comentario final

En el entrenamiento se abordó la geometría básica del círculo y algunos teoremas básicos como el de la línea media, Tales, el otro teorema de Tales, el del papalote, etc. Se concluyó con algunas propiedades del cuadrilátero cíclico como una instancia de uso de la noción de arco interceptado.

Espero que así lo hayan entendido los preseleccionados y no se hayan intimidado con los 4 problemas finales que se refieren a cuadriláteros cíclicos. (Digo, porque es común considerarlo --erróneamente, en mi opinión-- un tema avanzado.) Lo veremos en sus soluciones. 

Los saluda
jmd