Algoritmo de la División Entera

Cuando dividimos un número $a$ entre otro $b$(digamos 5 entre 2) lo que hacemos es ubicar a entre dos términos de la sucesión:  $0, b, 2b, \ldots$ (5 está ubicado entre 2(2) y 3(2) –y sobra 1). El cociente $q$ nos dice cuántas veces “cabe” $b$ en $a$, y el residuo $r$ es la distancia entre $qb$ y el número $a$.

El algoritmo de la división nos dice que, dados dos números $a$ y $b$, siempre es posible encontrar $q$ y $r$ de tal manera que $a=qb+r$, con $r$ un número entre $0$ y $b-1$. (Para 5 y 2, encontramos 2 y 1 tales que 5=2(2)+1.)

Lo que nos dice este resultado de la teoría de números ya lo sabíamos desde la escuela (de la clase de aritmética). La diferencia es que en teoría de números tenemos que usarlo teoréticamente, mientras que la habilidad para aplicarlo en la aritmética es totalmente mecánica (nunca nos habíamos tomado la molestia de averiguar porqué funciona puesto que siempre lo hemos aplicado de esa forma).

Ejemplos de aplicación:

1. Cada número deja residuo 0 o 1 al dividirse entre 2, por lo que, podemos definir como pares aquellos de residuo 0 e impares a los de residuo.
2. Considérese el caso de dividir un número natural n entre 3. La sucesión de referencia es 0, 3, 6, 9, … (Queremos ubicar n entre dos de sus términos, es decir, entre q(3) y (q+1)3; a decir verdad, en divisibilidad no nos interesa mucho conocer q, sino más bien r, el residuo o resto.) Si vemos el diagrama de la recta numérica (o imaginándolo), se distinguen tres posibilidades respecto al residuo: o bien es 0 (n es divisible entre 3) o bien no es cero (en cuyo caso puede ser 1 o 2). En términos de la sucesión, se puede decir que todo número natural es ya sea múltiplo de 3 o bien está a una distancia de una o dos unidades de un múltiplo de 3.1)
    
3. Consideremos ahora que el número n lo elevamos al cuadrado ¿cuáles son sus posibles residuos al dividir entre 3? ¿Otra obviedad? No. Porque ahora lo que tenemos es que $n^2$ o es múltiplo de 3 o bien deja 1 como residuo al dividirlo entre 3. (Se deja como ejercicio el demostrarlo. Sugerencia: elevar al cuadrado $3q+1$ y $3q+2$.)