Primero que nada, los objetos a estudiar son los números enteros, estos son:
0, 1, 2, 3, ... y también los negativos -1, -2, -3, ...
Todos estamos familiarizados con ellos, los hemos estudiado desde la escuela primaria y algunos incluso desde el preescolar. Por lo que podemos dar por conocidas sus siguientes propiedades:
Sean $a$, $b$ y $c$ tres números enteros cualesquiera entonces:
- $a+b=b+a$
- $a \times b = b \times a$ (o bien, $ab= ba$)
- $-(-a) = a$
- $c(a+b)=ca+cb$
- $a-a=0$
- Si $a<b$ y $c>0$ entonces $ac < bc$
- Si $a<b$ entonces $a+c < b+c$.
Queda como ejercicio convencerse de la veracidad de estos resultados. Para lo cuál es recomendable asignar valores a los números $a$, $b$ y $c$ y checar que los número elegidos satisfacen cada propiedad.
Ahora pasemos al concepto que será la propiedad principal de estudio en todo este libro, este es el concepto de divisibilidad.
Definición: Un entero $b$ es divisible por un entero $a \neq 0$ si existe un entero $x$ tal que $b=ax$ y se escribe así $a|b$. En el caso en que $b$ no sea divisible por $a$ se escribe $a \not | b$.
De manera reflexiva también se dice que $a$ divide a $b$.
Básicamente lo que significa es que el resultado de la división $b \div a$ es un entero. Pero definido como arriba, es claro que $a | 0$ para todo entero $a \neq 0$; pues en tal caso, $0 = a \cdot 0$.
Unos resultados menos triviales derivados de esta definición son los siguientes:
Teorema 1. Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros entonces son ciertas las siguientes afirmaciones:
- Si $a|b$ entonces $a | bc$ para todo entero $c$.
- Si $a|b$ y $b|c$ entonces $a|c$
- Si $a|b$ y $a|c$ entonces $a|(bx+cy)$ para todo $x,y$ enteros.
- Si $a|b$ y $b|a$ entonces $a= \pm b$.
- Si $a|b$ y $a,b >0$ entonces $a\leq b$.
Demostración del Teorema 1.
La demostración es muy sencilla y algo tediosa, así que sólo demostraré un par de ellas, las demás quedan como ejercicio.
Propiedad 2. Las hipótesis se traducen en que existe $x$ y existe $y$ tales que $b=ax$ y $c=by$. Sustituyendo $b=ax$ en $c=by$ obtenemos que $c=(ax)y$, es decir, $c=a(xy)$ por lo tanto $a| c$.
Propiedad 3. Nuevamente las hipotésis se traducen en que existen dos números, que llamaremos $p$ y $q$, tales que $b=ap$ y $c=aq$, luego, $$bx+cy=(ap)x+(aq)y = a(px+qy)$$ por lo que, $a$ divide a $bx+cy$.
Con esto hemos cubierto los conceptos básicos de divisibilidad.