Lema de euclides

Como $ a $ divide a $bc$, entonces $ a $ tiene que poder ser factorizado en $bc$. (Imagine el lector que trata de poner $bc$ en la forma $ka$.) Pero $ a $ no tiene factores en común con $ b $. Por lo tanto todos los factores de $ a $ están en $ c $. De aquí que podemos apartar $ b $ en $\frac{bc}{a}$, pues no aporta ningún factor para la cancelación.

Queda entonces

Es decir, $\frac{c}{a}=m$, como se quería.

A pesar de ser elemental, este resultado es poderoso. Y para comprender a cabalidad la demostración el lector que se inicia en estos temas de números necesita realizar varios ejemplos de aplicación. El significado del lema se obtiene con su uso.

La demostración presentada usa el siguiente argumento:

… $ a $ divide a $bc$….Pero $ a $ no tiene factores en común con $ b $. Por lo tanto todos los factores de $ a $ están en $ c $.”

Entonces, cuando se habla de factores se está hablando de los divisores primos un número. De hecho, en todo el tiempo se está pensando en el teorema fundamental de la aritmética:

Todo número puede escribirse de foma única como producto de sus factores, i.e, de la forma $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$.

Ahora bien, el lema fundamental es fundamental y es lema pues sirve de ayuda para probar el teorema fundamental. Por ello, la prueba presentada aqui, aunque es muy clara, no es la prueba correcta, pues se está usando el teorema fundamental que requiere del lema que se está probando con el teorema fundamental que requiere el lemma para su prueba :-?

Una prueba que evita usar el teorema fundamental es usando la Identidad de Bezout.

Como $ a $ y $ b $ son primos relativos, por la identidad de Bezout sabemos que existen $ x $ y $ y $ enteros tales que $ax+by = 1$. Multiplicando por $ c $ se tiene que:

Pero evidentemente $ a $ divide a $acx$ y por hipótesis divide a $ bcy$, en consecuenciea $ a $ divide a $acx+bcy$ que es $ c $. Y esto termina la prueba.