Un teorema de medianas

La demostración del siguiente teorema es instructiva de cómo un trazo auxiliar permite el uso de resultados elementales (en este caso congruencia de triángulos) en la solución de problemas geométricos.

Pero también nos enseña el razonamiento en reversa, muy útil en la demostración de teoremas geométricos del tipo “si y sólo si.” No está de más añadir que lo más instructivo de las demostraciones de los teoremas elementales de geometría es la construcción de las figuras.

El aprendiz debería aprovechar la oportunidad para afinar sus habilidades en la construcción de figuras geométricas –y su profesor debería darle la ayuda ajustada. Y ahora que digo esto voy a detallar la construcción de la figura, aunque sea sólo por esta vez.

Teorema de las medianas del isósceles:

Un triángulo es isósceles si y sólo si dos de sus medianas son iguales.

Demostración:

Vamos a demostrar primero la parte “sólo si” (isósceles sólo si medianas iguales). Lo primero que hago es dibujar un isósceles ABC y los puntos medios M y N de los lados AB y AC, respectivamente. (Lo siento, no puedo detallarlo tanto; si el lector no sabe cómo construir un isósceles y/o un punto medio, debería dedicarle una o dos tardes al dibujo geométrico elemental.)

Ya con los puntos medios trazo las medianas BN y CM y llamo G a su intersección.

    
Vamos a demostrar que BN=CM. Esta parte es la fácil. Porque los ángulos en la base de un isósceles son iguales y ello nos permite identificar los triángulos congruentes MBC y NCB (criterio LAL). De aquí que CM=BN.

La parte del “si” (dos medianas iguales entonces isósceles) es la más difícil.

El trazo auxiliar que aporta la perspectiva adecuada para “ver” el resultado no es obvio. Pero es clásico. Así que el aprendiz debe tomarlo como ejemplo para posibles aplicaciones posteriores.

Prolongo las medianas hasta los puntos M’ y N’ de tal manera que GM=MM’ y GN=NN’. La idea es formar congruentes opuestos por el vértice, un artificio que ya conocemos.

(Los círculos los dejé para hacer transparente la forma en que se traza con compás un segmento sobre una recta de longitud dada.)

 
   
Ocultando los círculos y mostrando sólo lo que se va a necesitar, la figura quedaría como se muestra.

Ahora trazo los segmentos M’B y N’C para formar dos pares de triángulos congruentes (según criterio LAL): M’MB y GMA, N’NC y GNA.

El hallazgo clave aquí es M’B=N’C (puesto que ambos segmentos son iguales a GA) y M’B//N’C (pues ambos son paralelos a GA, por triángulos alternos internos iguales).

Pero, “opuestos iguales y paralelos, luego paralelogramo”… 

He aquí los paralelogramos: M’BCN’, M’BGA y N’CGA.

Las diagonales del paralelogramo se bisecan ¿no es cierto?

Tenemos pues que BG=GN’=2GN y CG=GM’=2GM. Ahora sólo necesitamos asegurar GM=GN.

Por hipótesis BN=CM. Es decir, 2GN+GN=BN=CM=2GM+GM. O sea, GN=GM.

Así que los paralelogramos M’BGA y N’CGA tienen sus lados correspondientemente iguales y las diagonales correspondientes GN’ y GN’ son también iguales. Por lo tanto las otras dos diagonales correspondientes BA y CA deben ser iguales. En otras palabras, el triángulo ABC es isósceles.