Álgebra del Primer Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 12:49.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m$ y $n$ tales que

$(m^2+n)(m+n^2)=(m+n)^3.$

Sugerencia:

Después de algún desarrollo algebraico, usa algún truco que te permita factorizar.

Solución:

Por un lado tenemos que

$(m^2+n)(m+n^2)=m^3+m^2n^2+mn+n^3$ y por otro lado sabemos que

$(m+n)^3=m^3+3m^2n+3mn^2+n^3$ , así que necesitamos encontrar las parejas de enteros positivos que cumplen que

$m^3+m^2n^2+mn+n^3=m^3+3m^2n+3mn^2+n^3,$

o bien,

$m^2n^2+mn=3m^2n+3mn^2$ , ya que podemos restar

$m^3+n^3$ de ambos lados de la igualdad.

Factorizando obtenemos que

$mn(mn+1)=mn(3m+3n)$ . Como

$m$ y

$n$ son enteros positivos,

$mn \neq 0$ , por lo que podemos deducir que

$mn-3m-3n+1=0$ . Sumando 8 de ambos lados llegamos a la ecuación

$mn-3m-3n+9=8$ . La parte izquierda de la ecuación la podemos factorizar y obtener que

$(m-3)(n-3)=8$ . Tanto

$m-3$ como

$n-3$ son enteros, entonces las opciones que tenemos es que sean 1, 2, 4 y 8.

Y estas son las 4 soluciones.