$n$ y $n^2$ con misma terminación. Selectivo 2016

Enviado por Orlandocho el 28 de Agosto de 2016 - 13:59.

Encuentra todos los números naturales $n$ de tres dígitos que son iguales al número formado por los tres últimos dígitos de $n^2$ .

Sugerencia:

Hay una solución natural en la que debes observar de las unidades hacia adelante, cómo pueden ser los dígitos.

Solución:

Sea

$n$ un número que cumple. Por lo tanto

$n^2-n$ debe ser un múltiplo de 1000. Dicho de otra manera

$n(n-1)=2^3 \cdot 5^3k$ . Como

$n$ y

$n-1$ son números consecutivos, por lo tanto, también son primos relativos. Notemos que

$\frac{n(n-1)}{2^3 \cdot 5^3}=k$ es un entero, pero como

$n$ y

$n-1$ son primos relativos, solo uno de ellos tiene factores 2 y solo uno de ellos tiene factores 5. Tenemos los siguientes casos:

$1000|n$ . Pero no hay números de tres dígitos que cumplan eso.
$1000|n-1$ . Pero no hay números de tres dígitos que cumplan eso.
$2^3|n$ , $5^3|n-1$ . Los múltiplos de 125 de tres dígitos son 125, 250, 375, 500, 625, 750 y 875, de ellos el único que al sumarle 1 resulta un múltiplo de 8 es el 376.
$2^3|n-1$ , $5^3|n$ . De los múltiplos de 125 de tres dígitos que al restarle 1 dan un múltiplo de 8 es el 625.

Por lo tanto

$n=376$ o

$n=625$ .

nn y n2n^2 con misma terminación. Selectivo 2016