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Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y con denominador es 1991.
Ver también:
Fracción irreducible Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)
menores que uno y con denominador es 1991.
Para los novatos: noten que
Para los novatos: noten que realiar todas las sumas es una tarea doble, pues hay que comprobar la irreducibilidad de las fracciones y posteriormente hay que sumar probablemente una gran cantidad de números. Aun así, no se desanimen si esta fue su única idea; en estos concursos hay que pensar hasta lo inimaginable e intentarle, con la práctica surgen "corazonadas" de los posibles caminos de resolución de problemas.
Algunas posibles estrategias para domar a este feroz león:
Recuerden, no se desesperen si a la primera no sale.
saludoz
Denotemos con a la suma
Denotemos con $A$ a la suma buscada y con $B$ a la suma de fracciones reducibles con denominador $1991$ y menores a $1$. Se tiene entonces que
$\displaystyle A+B = \sum_{k=1}^{ 1990} \frac{k}{1991}$
y
$\displaystyle B = \sum_{k=1}^{180} \frac{11k}{1991}+\sum_{k=1}^{10} \frac{181k}{1991}$
y por tanto
$\displaystyle A= \frac{1}{1991}\left(\frac{(1990)(1991)}{2} - \frac{(11)(180)(181)}{2} - \frac{(181)(10)(11)}{2}\right) = \frac{1990-180-10}{2}=900.$