Problema 6 OMM 2003

Supongamos que $c$ se obtiene a partir de $a$ con cambios sensatos y escribamos la lista de los números intermedios que se obtienen con los cambios sensatos: $a\rightarrow x \rightarrow y \rightarrow ... \rightarrow c$, donde $x=2a+1$ ó $3a+2$, $y=2x+1$ ó $3x+2$, etc. Si le sumamos uno a cada número de la lista, obtenemos otras listas $a+1 \rightarrow x+1 \rigthtarrow \rightarrow y+1 \rightarrow ... \rightarrow c+1$, en la que $x+1=(2a+1)+1=2(a+1)$ ó $(3a+2)+1=3(a+1)$, es decir, el segundo número es el doble o el triple del anterior. Consideremos ahora la factorización de $a+1$ como producto de potencias de primos distintos. La factorización de $c+1$ tiene las mismas potencias de los primos que no son ni $2$, ni $3$; y del $2$ y el $3$ puede tener cualquier potencia que sea mayor o igual que la que aparece en la factorización de $a+1$.

Por lo tanto, $a$ y $b$ son compatibles si y sólo si las factorizaciones de $a+1$ y $b+1$ tienen las mismas potencias de todos los primos que no son ni $2$, ni $3$. Como $2003 + 1 = 2^2\cdot 3\cdot 167$, los compatibles con $2003$ son los de la forma $2^l 3^m \cdot 167 - 1$. De éstos los menores que $2003$ son los que tienen $2^l 3^m$ < $12$. Los valores posibles son $2^l 3^m =1,2,3,4,5,6,8,9$, por lo que los números buscados son $166, 333, 500, 667, 1001, 1335$ y $1502$