Problema 2 OMM 2003

Enviado por jose el 2 de Febrero de 2009 - 00:10.

Sean $A$ , $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$ . Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$ , y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$ ,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$ ) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$ ; sea $Q$ el otro punto (además de $B$ ) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$ .
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$ , y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$ . Demuestra que concurren $AR$ , $CS$ , y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$ .

Solución

Por:

jose

Fecha:

1 Feb 2009

Solución:

Sea $J$ la intersección de $AR$ con $CS$ . Queremos demostrar que $JB$ es Como $BRSJ$ es cíclico: $\angle{RBJ}=\angle{RSJ}$ . $\angle{RSJ}=\angle{CSQ}$ por ser opuestos por el vértice. $\angle{CSQ}=\angle{CBQ}$ por que tienen la misma cuerda en el círculo $Z$ . Como $BC$ es tangente al círculo $Y$ , $\angle{CBQ}=\angle{BPQ} (=\angle{BPR}). \angle{BPR}=\angle{BAR}$
porque tienen la misma cuerda en el círculo $X$ . Queremos probar que $\angle{ABJ}=90$ asi se probaría que $BJ$ es tangente a $X$ y a $Y$ . Sea $\angle{RBJ}=T, \angle{ABJ}=\angle{ABR}+\angle{RBJ}$ . Notemos que $\angle{ABR}=90$ grados por ser $AB$ diámtero, entonces $\angle{BRJ=90}. \angle{BJA}=180-90-T=90-T$ . Además $\angle{ABJ}=180-\angle{BAJ}-ABJ=180-T-(90-T)=180-T-90+T=90$ . Como queríamos

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Otra solucion mas directa

Enviado por Luis Brandon el 15 de Abril de 2009 - 18:49.

Otra solucion mas directa seria resaltar que ARSC es ciclico ya que angACS=angBQP=angPBA=angARB por consiguiente angACS+angARS=180, de ahi si consideramos la circunferencia que pasa por A,R,S,C tenemos que AR,CS y la tangente por B son ejes radicales, y por consiguiente concurren como queriamos probar.

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