Problema 4 OMM 2003

Notemos que $\frac{AP}{DQ}=\frac{AM}{MQ}$ y $\frac{PB}{QC}=\frac{BN}{NQ}$ ya que los triángulos $APM$ y $QDM$ y los triángulos $PBN$ y $CQN$ son semejantes $(AB||DC)$, de aquí que $\frac{AM}{MQ}=\frac{BN}{NQ}$ y por Thales $AB||MN||DC$. Entonces los triángulos $PMN$ y $PDC$ son semejantes por lo tanto $\frac{DC}{MN}=\frac{DP}{MP} (...1)$ también los triángulos $QMN$ y $QAB$ son semejantes por lo tanto $\frac{MN}{AM}=\frac{MQ}{AQ}(...2).$ Como $MN||DC$ entonces $\frac{MQ}{AQ}=\frac{MD}{PD}$. Sumando $(1)$ y $(2)$ obtenemos $\frac{MN}{DC}+\frac{MN}{AB}$ $=\frac{PM}{PD}+\frac{MQ}{AQ}$ $= \frac{MP}{PD}+\frac{DM}{PD}$ $=\frac{PD}{PD}=1$. Osea $\frac{MN}{DC}+\frac{MN}{AB}=1$ $\Leftrightarrow \frac{(MN)(AB)+(MN)(DC)}{(DC)(AB)}=1$ $\Leftrightarrow (MN)(AB)+(MN)(DC) = (DC)(AB)$ $\Leftrightarrow MN(AB+DC)=(DC)(AB)$ $ \Leftrightarrow MN$ $=\frac{(DC)(AB)}{(DC+AB)}$.