Tercia de reales

Desde ahora aclaro que no se utilizará el cero, pues dividir sobre cero es un error matemático, por lo que se seguirá que hablamos de todos los reales exceptuando a cero.

Es claro que $a=b=c=r$ para cualquier $r$ $\epsilon$ $R$ distinto de cero, cumple las condiciones del problema. Demostremos que es la única solución.

También es claro que si dos variables son iguales, la tercera deberá ser igual para cumplir. Basta con tomar la expresión que tiene a las dos iguales e igualarla a cualquiera de las otras dos. 

Ahora veamos que para cumplir, $a,b,c,$ deben ser todos menores o mayores a cero. 

Sea $k_1 ,k_2, k_3$ $\epsilon$ {$a,b,c$ | $k_1≠k_2≠k_3$}

Si $k_1$ es negativa y las otras dos positivas es claro que 

 $k_1$ -  $\frac{1}{k_2}$ < 0 <  $k_3$ -  $\frac{1}{k_1}$

Lo mismo pasa si $k_1$ es positiva y las otras dos negativas. 

 $k_1$ -  $\frac{1}{k_2}$  > 0 >  $k_3$ -  $\frac{1}{k_1}$

De donde todas deben ser mayores o menores a cero. 

Ahora demostremos que no se puede de la siguiente manera.

Sea $k_1 < k_2 < k_3$. Como son todas mayores o menores a cero, entonces $\frac{1}{k_3}$ < $\frac{1}{k_2}$ < $\frac{1}{k_1}$

De donde $k_1$ +  $\frac{1}{k_3}$ < $k_2$ +  $\frac{1}{k_2}$ y también $k_2$ +  $\frac{1}{k_2}$ < $k_3$ +  $\frac{1}{k_1}$

Lo que conlleva a   $k_1$ -  $\frac{1}{k_2}$ < $k_2$ -  $\frac{1}{k_3}$ y también  $k_2$ -  $\frac{1}{k_1}$ < $k_3$ -  $\frac{1}{k_1}$

Estas dos últimas desigualdades bastarán para cubrir todos los casos en los que $a,b$ y $c$ no son iguales, sólo se irán alternando las mismas entre las $k_i$ y utilizando una de las dos inecuaciones presentadas.

De aquí podemos concluir que la igualdad se da si y sólo si $a,b$ y $c$ son iguales y distintos de cero.