XI Concurso Regional del Noreste de la OMM

Problema

Números norteños

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 13:24.

Un entero positivo N es norteño si para cada dígito d>0, existe un divisor de N cuyo último dígito es d. ¿Cuántos números norteños menores que 2016 hay que tengan la menor cantidad posible de divisores?

Problema

Tercia de reales

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 13:19.

Encuentra todas las ternas de reales (a,b,c) tales que a1b=b1c=c1a

Problema

Punto exterior a un cuadrado

Enviado por German Puga el 29 de Octubre de 2016 - 13:11.

Sea ABCD un cuadrado. P un punto sobre la semicircunferencia de diámetro AB exterior al cuadrado. Sean M y N las intersecciones de PD y PC con AB, respectivamente. Demuestra que MN2=AMBN

Problema

Cuadritos unitarios distanciados

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:42.

Considera un tablero de n×n, con n5. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados  si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados  sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?

Problema

Cíclico dentro de un isóceles

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:36.

Sea ABC un triángulo con AB=AC de gravicentro G. M y N los puntos medios de AB y AC respectivamente y O el circuncentro del trángulo BCN. Muestra que MBOG es un cuadrilátero cíclico.

Problema

Suma de cubos igual a 2016

Enviado por German Puga el 17 de Septiembre de 2016 - 15:33.

Determina si existen alguna terna de enteros no negativos, no necesariamente distintos, (a,b,c) tales que:

a3+b3+c3=2016 

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