Sea S el conjunto de puntos (i,j) de coordenadas enteras en el plano, con i,j=0,1,2,...,9.
a) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos de S de manera que formen un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas?
b) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos en S de manera que formen un cuadrado?
Ver también:
Cuadrados en el primer cuadrante
Bueno; no soy buena en
Bueno; no soy buena en combinatoria; pero esto es lo que hice del inssiso a) y lo que estuve razonando despues del examen sobre el insiso b).
a) Creo que para que los puntos formen cuadrados paralelos no pueden estar sobre el eje; entonces haremos cuadrados desde el punto (1,1) hasta el (9,9).
Cuadrados de 1x1 hay 64 opciones (8x8). De 2x2 hay 49 (7x7); de 3x3 36 (6x6) y asi sucesivamente hasta que de 8x8 hay solo 1 opcion.
Entonces sumamos las posibilidades y tenemos 204 opciones.
b) Para esto; debemos contemplar que los cuadrados pueden ser; paralelos a los ejes; sobre ellos y como una especie de rombo.
Para cuadritos que ocupen un area de 1u^2. es decir de 1x1 tenemos que habra 81 formas de elegir 4puntos. Ahora a partir de cuadros de 2x2 hasta 9x9 hay varias combinaciones posibles; lo pongo graficamente para que quede mas explicito.
Con cuadrados que ocupan 2x2 hay dos opciones; que serian la del cuadrado grande y la del que esta inscrito en el.
Para cuadrados que ocupan 3x3 hay 3 opciones; y 4x4 4 opciones.
Asi hasta cuando buscamos cuadrados que ocupan un espacio de 9x9; donde hay 9 formas de elegirlos.
Ahora bien en un espacio de 2x2 hay 64 maneras diferentes de poner los cuadrados. De 3x3 49; de 4x4, 36 y de aqui podemos observar un patron; las opciones son los cuadrados desde 9^2 hasta 1^2 ( de manera decendiente) y esto lo multiplicamos por las combinaciones para cada espacio y las multiplicamos. .
Al final sumamos todas las combinaciones y tenemos que puede haber 825 combinaciones.
Pff' espero que este bien. En el regional no contemple que podian ser cuadrados pero girados (como rombos) jajaj ya decia yo que era demaciado facil para ser verdad. Bueno' si no esta bien por favor diganme cual es el error :D
Yo veo que está muy bien tu
Yo veo que está muy bien tu solución del inciso b) Sadhi. La solución es exactamente 825 posibilidades.
En el inciso a), cometiste un error "clásico" en la interpretación de paralelismo. Quitaste la posibilidad de que los lados del cuadrado coincidan con el eje, y eso es un error. Pues cuando los lados coinciden con el eje, esos también son paralelos al eje.
Regresando al inciso b), observo que en el cálculo final hiciste una tabla con las multiplicaciones y sumas necesarias para el cálculo. Esa es una forma muy ordenada de hacer las cuentas, pero te paso el truco de cómo prefiero yo hacer este tipo de cuentas:
$$1\times 9^2 + 2 \times 8^2 + \cdots + 8\times 2^2 + 9 \times 1$$
$$(10-9)\times 9^2 + (10-8)\times 8^2 + \cdots + (10-2) \times 2^2 + (10-1)\times 1^2$$
$$(10 \times 9^2 - 9^3) + (10\times 8^2 - 8^3) + \cdots + (10 \times 1^2 - 1^3 )$$
$$10 \times( 9^2 + 8^2 + 7^2 + \cdots 1^2) - (9^3 + 8^3 + \cdots +2^3 + 1^3)$$
$$10\times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} - \Big(\frac{9 \times 10}{2}\Big)^2 $$
$$10\times 3 \times 5 \times 19 - 9 \times 5 \times 9 \times 5 $$
$$3\times 5\times 5 \times ( 2\times 19 - 3 \times 9)$$
$$75 \times (38 - 27) = 75 \times 11 = 825$$
Bueno, esto es todo, saludos.
Oh' gracias Jesus; no lo
Oh' gracias Jesus; no lo inclui porque en el examen hice la pregunta al jurado y me dijieron que si estaba sobre el eje no era considerado como paralelo.
Entonces supongo que la respuesta es 285; las 204 opciones+ 81 de los que pueden ir sobre el eje.
Saludos(:
Sería conveniente que
Sería conveniente que guardaras la tarjeta de la pregunta y la presentaras al delegado en el estatal. Lo que dices es muy grave. Yo la verdad lo dudo. Habría que ver exactamente qué preguntaste y exactamente qué te contestaron.
Por lo demás, sería también conveniente que te responsabilizaras de tu propio aprendizaje desde ahora. Cuando dices "entonces supongo que es 285" ello se podría interpretar que tú te deslindas de toda responsabilidad de lo que sabes o no sabes. (Para un caso paradigmático de esa actitud recomendaría al lector leer el Caso de Gael) E incluso se podría interpretar que ignoras la explicación que Jesús te brinda...
Te saluda
PD: la puñalada suele provenir de quien has ayudado más... ¿dónde ví eso el año pasado?... ni bueno ni malo, es solamente un hecho de la vida...
De cierta manera parecería
De cierta manera parecería lógico pensar que los lados sobre el eje también contarían para el inciso a), pues de lo contrario, ¿para qué incluir las coordenadas (0, x) ó (x, 0) en S? Eso si, también me llegó a tocar que la incertidumbre me ganó y pregunté algo, y con la respuesta que me dieron trabajé, pero a la mera hora me habían contestado mal así que mi respuesta estaba errónea. Aprendí entonces que debía de leer más enunciados y comprender la lógica que en ellos se guardaba, para no caer en la necesidad de preguntar sobre la estructura del problema y no tener la posibilidad de que me desviaran del camino nuevamente.
Está muy interesante la forma de sumar de Jesús :D se ahorra tiempo y queda elegante.
saludoz :)
Mi solucion fue exactamenteee
Mi solucion fue exactamenteee como la que escribe sadhy arriba xD
solo que desde el examen consideré los cuadrados que si estaban en los ejes pues como dice zzq en el conjunto S también aparece el 0..creo que el haberme fijado en eso fue lo que hizo que no tuviera que hacer ninguna pregunta :S
Por sierto..me sorprendioo y me alegro muchisimo saber que habia sacado 7 puntos en este problema..pues tuve dificultades al nombrar los cuadrados cuyos lados no son paralelos a los ejes
me alegra ver que al final si se entendió xD
saludoss y gracias =D