Necesitamos ubicar los vértices del triángulo. Si ubicáramos A, la base sería una de las perpendiculares a la altura AP. Claramente podemos ubicar AP --como la perpendicular a MN por P. Faltaría saber dónde exactamente queda A en ella.
Si tuviésemos A, podríamos trazar AM y AN y las perpendiculares a éstas por P y habríamos terminado. Pero ¿cómo ubicamos A en la recta AP? Esa es la cuestión.
La clave: AC (o AB) puede verse como la diagonal de un paralelogramo con punto medio N (M). Así que si construimos la otra diagonal ya estaremos más cerca. La otra diagonal es PR --donde R es el reflejo de P en el punto N.
Si tuviésemos el paralelogramo, éste sería APCR. Pero PC es perpendicular a AB y, por lo tanto, también lo es RA. Pero entonces tendríamos el triángulo MRA rectángulo en A.
Y ésta es la vía hacia la solución. Porque, por el otro teorema de Tales, A está en la circunferencia de diámetro MR.
Así que si construimos el círculo de diámetro MR, éste corta a la recta AP en A. Y con esto ya tenemos ubicado el vértice A. Terminamos.
(Y, bueno, si ese círculo no corta a AP no hay forma de ubicar A.)
