Sea P(X,Y)=2X2−6XY+5Y2. Diremos que un número entero A es un valor de P si existen números enteros B y C tales que A=P(B,C).
- i) Determinar cuántos elementos de {1,2,3,...,100} son valores de P.
- ii) Probar que el producto de valores de P es un valor de P.
hola, $ 2x^2 - 6xy + 5y^2
hola,
2x2−6xy+5y2=(x−2y)2+(x−y)2 demostremos que para cualesquiera enteros (con cero inclusive) a,b a2+b2 es un valor de P haciendo x=2b−a;y=b−a lo comprobamos.
Luego para el inciso a): ¿Cuantos x con x<101 cumplen que existen enteros a,b tal que a2+b2=x con esto se puede ver que a,b < 10, y ya solo checamos las combinaciones con esta acotacion, quitamos los que sean mayores a 100 y los repetidos, y resultan ser 35 numeros.
Para el inciso b) es claro que solo hay que demostrar que el producto de dos valores de P es otro valor de P.
Digamos que un valor de P es a2+b2 y otro es c2+d2 para cualesquiera valores de a,b,c,d. luego hay que demostrar que:
(a2+b2)(c2+d2) es suma de cuadrados. (denotemoslo por z )
z=(ad)2+(bc)2+(ac)2+(bd)2=(ad−bc)2+(ac+bd)2 como se queria.
Saludos
Germán.