Triángulos en una circunferencia

Enviado por jmd el 28 de Abril de 2012 - 07:17.
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Sean AB es el diámetro de una circunferencia con centro en el punto D, y C un punto en AB de tal manera que AC es la mitad de CB. Por el punto C se traza una perpendicular a AB que corta a la circunferencia en los puntos E y F. Si el área del triángulo ABE es de 60cm2 ¿cuánto vale el área del triángulo DEF?

 

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Imagen de Paola Ramírez

Por ser AB diametro AB

Enviado por Paola Ramírez el 18 de Marzo de 2013 - 19:41.

Por ser AB diametro AB cortara a EF a la mitad y en perpendicular sabemos que 2AC=CB digamos que AC=2x. AB=6x podemos dividir a (ABE) en seis areas iguales de base x y altura ECentonces tenemos que cada triangulo de base x=10cm2.

Podemos dividir a EFD en dos triangulos ECD y FCD ambos rectangulos en C y con EC=CF sabemos que CD=x y que EC es altura de ECD y de AEB ∴ tenemos que (ECD)=x(EC)/2=10cm2 y que (ECD)=(CFD) entonces (EFD)=20cm2

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Imagen de jesus

¡Perfecto! Lo veo muy bien.

Enviado por jesus el 19 de Marzo de 2013 - 19:14.

¡Perfecto! Lo veo muy bien. Lograste evitar calcular EC, lo cuál habla muy bien del sentido geométrico que tienes.

Si quieres puedes hacer el ejercicio sencillo de calcular EC. A mi me da:

EC=24√2√10AB=124√2√5

Saludos

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Imagen de jmd

Colaboro con la figura (para

Enviado por jmd el 19 de Marzo de 2013 - 21:08.

Colaboro con la figura (para ayudar al razonamiento)

 

Y, bueno, aprovecho para sugerir otra ruta hacia la solución usando la simetría de la figura:
 
1) Es (relativamente) fácil darse cuenta que si CA mide 2x entonces DC mide x (como correctamente lo deduce Paola);
 
2) y tampoco es difícil percatarse de que el área del triángulo ACE es un tercio que la de ABE, es decir, (ACE)=20.
 
Pero entonces, por lo antedicho, (CDE)=10 y el resultado se sigue por simetría.

Los saluda

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