Enviado por Luis Brandon el 4 de Mayo de 2009 - 16:51.
Un triangulo $ ABC $ tiene ortocentro $ H $. La circunferencia con centro en el punto medio de $ BC $, que pasa por $ H $, corta a la recta $ BC $ en $A_1$y$A_2$, de manera similar se definen los puntos $B_1,B_2$ en la recta $CA$ y $C_1,C_2$ en la recta $AB$. Demuestra que los puntos $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ estan en una misma circunferencia.
Enviado por Luis Brandon el 4 de Mayo de 2009 - 17:08.
En su solucion omiti que el eje radical es perpendicular a la recta que une los centros, lo cual es un hecho conocido, como las circunferencias de centro en los puntos medios de los lados del triangulo pasan por H, H es el punto donde concurren los ejes radicales, como AH, es perpendicular a una recta que une centros de dos de esas circunferencias, A esta en el eje radical por lo primero que dije.
Ahora, otro hecho conocido, es que si tomamos un punto en el eje radical de dos circnferencias, y desde ese punto trazamos dos rectas, tales que cada una corta a una circunferencia en 2 puntos, entonces los 4 puntos (2 en cada circunferencia) forman un cuadrilatero ciclico, es decir son conciclicos, de ahi que los nombre conciclicos. Saludos!!!!!!!
Enviado por Luis Brandon el 4 de Mayo de 2009 - 20:20.
Gracias, aunque el problema realmento no es dificil sabiendo que usar, y despues de que uno ya a hecho problemas tipo, la idea es casi instantanea. Saludos!!!
Sí muy padre solución con el uso ejes radicales. Este problema me recuerda mucho al problema 6 del nacional. Creo que son prácticamente del mismo nivel de dificultad. Lo que significa que en el nacional pusieron un problema tipo IMO.
Como el problema 6 es el más dificil de un nacional, Brandon, creo que tienes el nivel suficiente como para resolver cualquier problema de geometría del Nacional.
En su solucion omiti que el
En su solucion omiti que el eje radical es perpendicular a la recta que une los centros, lo cual es un hecho conocido, como las circunferencias de centro en los puntos medios de los lados del triangulo pasan por H, H es el punto donde concurren los ejes radicales, como AH, es perpendicular a una recta que une centros de dos de esas circunferencias, A esta en el eje radical por lo primero que dije.
Ahora, otro hecho conocido, es que si tomamos un punto en el eje radical de dos circnferencias, y desde ese punto trazamos dos rectas, tales que cada una corta a una circunferencia en 2 puntos, entonces los 4 puntos (2 en cada circunferencia) forman un cuadrilatero ciclico, es decir son conciclicos, de ahi que los nombre conciclicos. Saludos!!!!!!!
Muy interesante :D Brandon,
Brandon, eres muy muy bueno :D
Gracias, aunque el problema
Gracias, aunque el problema realmento no es dificil sabiendo que usar, y despues de que uno ya a hecho problemas tipo, la idea es casi instantanea. Saludos!!!
Sí muy padre solución con el
Sí muy padre solución con el uso ejes radicales. Este problema me recuerda mucho al problema 6 del nacional. Creo que son prácticamente del mismo nivel de dificultad. Lo que significa que en el nacional pusieron un problema tipo IMO.
Como el problema 6 es el más dificil de un nacional, Brandon, creo que tienes el nivel suficiente como para resolver cualquier problema de geometría del Nacional.
¡Felicidades!