Las bisectrices internas de los ángulos A, B y C de un triángulo ABC concurren en I y cortan
al circuncírculo de ABC en L, M y N, respectivamente. La circunferencia de diámetro IL,
corta al lado BC, en D y E; la circunferencia de diámetro IM corta al lado CA en F y G;
la circunferencia de diámetro IN corta al lado AB en H y J. Muestra que D, E, F, G, H,
J están sobre una misma circunferencia.
Como L, M y N son puntos
Como L, M y N son puntos medios de los arcos que no contienen a A, B y C, respectivamente, las siguientes relaciones son conocidas:
LI=LB=LC
MI=MC=MA
NI=NA=NB
De donde se sigue que como L y M equyidistan de los puntos entonces LM es mediatriz de CI, de manera similar MN y NL son mediatrices de AI y BI, respectivamente. Sea X=MN*AI(el * denota interseccion) de ahi tenemos que los angulos NXI, y MXI son rectos, como NI y MI son diametros de dos circunferencias se sigue que ambas contienen al punto X, de ahi AI es eje radical de dichas circunferencias, por lo que el resultado de que los puntos F, G, H, J son conciclicos, de manera similar se denuestran los puntos D, E, F, G...y H, J, D, E.
Pero que nos garantisa que todos los puntos estan en la misma circunferencia?...supongamos que tenemos tres circunferencias distintas, sean
Ca donde estan D, E, F, G
Cb donde estan H, J, D, E
Cc donde estan F, G, H, J
de ahi el eje radical de Ca, Cb es DE, de Cb y Cc es HJ, de Cc y Ca FG...pero es claro que estas rectas forman un triangulo...y que con eso?????.....pues esta claro!!!!!!!hablando de ejes radicales de tres circunferencias solo se tienen 2 opciones...o concurren o son paralelos, de ahi llegamos a una contradiccion, de donde Ca=Cb=Cc como queriamos demostrar.
Ese problema haha gracias a
Ese problema haha gracias a el aprendi ejes radicales hahaha, recuerdo cuando me dijo Jesus salia con ejes radicales...y yo de...que es eso?...cuando me explico lo que eran..todo se volvio claro y un poco frustante por no saberlo antes...pero almenos fue para bien...se aprendio algo nuevo...uno nunca sabe lo suficiente....
saludos!!!!!!!