Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.
Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.
Voy a poner la solucion de
Voy a poner la solucion de este problema por puro sentimentalismo (Es del nacional en que participé =P)
Supongamos que $n$ es impar, entonces alguno de de $d_2$ o $d_3$ seria par, pero eso es una contradiccion ya que el $2$ seria divisor de $n$.
Entonces tenemos que $n$ es par, y por lo tanto el $2$ esta entre los divisores de $n$, y ademas $d_2=2$ ya que es el numero mas chico que no es 1 que puede ser divisor de $n$.
Entonces $$n=2^2+d_3^3$$
Como $n$ es par entonces $d_3$ es par, escribamos ese divisor como $d_3=2k$. Como $2k|n$ y $k|2k$ entonces $k|n$ por lo que $k$ tambien es divisor de $n$. Tenemos que $k<2k$ pero $d_1=1<d_2=2<d_3=2k$ por lo que $k$ solo puede ser 1 o 2. Para $k=1$ es facil ver que no cumple las condiciones y para $k=2,2k=4$ tenemos que:
$$68 = 2^2 + 4^3$$ que claramente cumple las condiciones del problema.
Por lo que la unica $n$ que cumple es $68$ (Este problema tenia mensajes ocultos jeje)
Lo primero que tenemos que
Lo primero que tenemos que ver es que como n = d22 + d33, si n es impar, d2 o d3 tendría un valor par, lo cual es una contradicción. De esto concluimos que d2 = 2.
Ahora, n = 22 + d33. Notamos que si d3 es impar, n también lo sería. Entonces, 2|d3, que podemos expresar como 2k. Si k > 3, habría otro divisor después del 2, reemplazando a d3, así que k solo puede ser 1 o 2.
Como en el caso k = 1, d2 = d3, entonces k = 2 y d3 = 2 * 2 = 4
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⇒ n = 22 + 43 = 4 + 64 = 68.