Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores

Voy a poner la solucion de este problema por puro sentimentalismo (Es del nacional en que participé =P)

Supongamos que $n$ es impar, entonces alguno de de $d_2$ o $d_3$ seria par, pero eso es una contradiccion ya que el $2$ seria divisor de $n$.

Entonces tenemos que $n$ es par, y por lo tanto el $2$ esta entre los divisores de $n$, y ademas $d_2=2$ ya que es el numero mas chico que no es 1 que puede ser divisor de $n$.

Entonces $$n=2^2+d_3^3$$

Como $n$ es par entonces $d_3$ es par, escribamos ese divisor como $d_3=2k$. Como $2k|n$ y $k|2k$ entonces $k|n$ por lo que $k$ tambien es divisor de $n$. Tenemos que $k<2k$ pero $d_1=1<d_2=2<d_3=2k$ por lo que $k$ solo puede ser 1 o 2. Para $k=1$ es facil ver que no cumple las condiciones y para $k=2,2k=4$ tenemos que:

$$68 = 2^2 + 4^3$$ que claramente cumple las condiciones del problema.

Por lo que la unica $n$ que cumple es $68$ (Este problema tenia mensajes ocultos jeje)

Lo primero que tenemos que ver es que como n = d₂² + d₃³, si n es impar, d₂ o d₃ tendría un valor par, lo cual es una contradicción. De esto concluimos que d₂ = 2.

Ahora, n = 2² + d₃³. Notamos que si d₃ es impar, n también lo sería. Entonces, 2|d₃, que podemos expresar como 2k. Si k > 3, habría otro divisor después del 2, reemplazando a d₃, así que k solo puede ser 1 o 2.

Como en el caso k = 1, d₂ = d₃, entonces k = 2 y d₃ = 2 * 2 = 4

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⇒ n = 2² + 4³ = 4 + 64 = 68.